Convergence uniforme et fonctions lipschitziennes

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur un segment $[a, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ . On suppose que cette suite converge simplement vers une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ . De plus, on suppose qu'il existe une constante $k \ge 0$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $f_n$ est $k$ -lipschitzienne sur $[a, b]$ .

Soit $N \in \mathbb{N}^*$ . On considère la subdivision régulière $(a_i)_{0 \le i \le N}$ de $[a, b]$ définie par $a_i = a + i \frac{b-a}{N}$ pour tout $i \in \{0, \dots, N\}$ . On pose $M_n = \max_{0 \le i \le N} |f_n(a_i) - f(a_i)|$ . Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\|f_n - f\|_{\infty} \le M_n + \frac{k(b-a)}{N}$
En déduire que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ .

1.

Commencer par montrer que la limite simple $f$ est elle-même $k$ -lipschitzienne en passant à la limite dans l'inégalité de Lipschitz pour $f_n$ .

2.

Pour tout $x \in [a, b]$ , il existe un point $a_i$ de la subdivision proche de $x$ . Utiliser l'inégalité triangulaire en insérant $f_n(a_i)$ et $f(a_i)$ .

3.

Pour la convergence uniforme, utiliser la définition avec $\varepsilon$ en fixant d'abord $N$ pour rendre le terme spatial petit, puis en utilisant la convergence simple pour gérer les points de la subdivision.

Idées clés

•

Propriété de la limite simple de fonctions lipschitziennes.

•

Approximation d'un point par une subdivision finie.

•

Découpage en $\varepsilon/2$ (argument de compacité de Heine déguisé).

Résolution.

Commençons par établir que la fonction limite $f$ est également $k$ -lipschitzienne. Soit $(x, y) \in [a, b]^2$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a : $|f_n(x) - f_n(y)| \le k |x - y|$ En passant à la limite quand $n \to +\infty$ dans cette inégalité, par continuité de la valeur absolue et convergence simple de $(f_n)$ vers $f$ , on obtient : $\boxed{ \forall (x, y) \in [a, b]^2, |f(x) - f(y)| \le k |x - y| }$ Soit $x \in [a, b]$ . Par construction de la subdivision régulière, il existe un indice $i \in \{0, \dots, N\}$ tel que $|x - a_i| \le \frac{b-a}{2N}$ (en prenant le point de la subdivision le plus proche). On peut alors décomposer l'écart $|f_n(x) - f(x)|$ par l'inégalité triangulaire : $|f_n(x) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(a_i)| + |f_n(a_i) - f(a_i)| + |f(a_i) - f(x)|$ En utilisant le caractère $k$ -lipschitzien de $f_n$ et de $f$ , il vient : $|f_n(x) - f(x)| \le k|x - a_i| + |f_n(a_i) - f(a_i)| + k|a_i - x|$ Ce qui se simplifie en : $|f_n(x) - f(x)| \le 2k|x - a_i| + |f_n(a_i) - f(a_i)|$ Puisque $|x - a_i| \le \frac{b-a}{2N}$ et $|f_n(a_i) - f(a_i)| \le M_n$ , on a : $|f_n(x) - f(x)| \le 2k \frac{b-a}{2N} + M_n = \frac{k(b-a)}{N} + M_n$ Cette majoration étant vraie pour tout $x \in [a, b]$ , on en déduit : $\boxed{ \|f_n - f\|_{\infty} \le M_n + \frac{k(b-a)}{N} }$
Soit $\varepsilon > 0$ . On souhaite montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel $\|f_n - f\|_{\infty} \le \varepsilon$ . Commençons par fixer $N \in \mathbb{N}^*$ assez grand pour que le terme résiduel soit petit. On choisit $N$ tel que : $\frac{k(b-a)}{N} \le \frac{\varepsilon}{2}$ $N$ étant maintenant fixé, la subdivision $\{a_0, \dots, a_N\}$ est un ensemble fini de points. Comme $(f_n)$ converge simplement vers $f$ , pour chaque $i \in \{0, \dots, N\}$ , il existe un rang $n^{(i)}$ tel que : $\forall n \ge n^{(i)}, |f_n(a_i) - f(a_i)| \le \frac{\varepsilon}{2}$ Posons $n_0 = \max_{0 \le i \le N} n^{(i)}$ . Pour tout $n \ge n_0$ , on a par définition de $M_n$ : $M_n = \max_{0 \le i \le N} |f_n(a_i) - f(a_i)| \le \frac{\varepsilon}{2}$ En injectant ces deux estimations dans l'inégalité démontrée à la question 1, on obtient pour tout $n \ge n_0$ : $\|f_n - f\|_{\infty} \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ On a donc bien prouvé que : $\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_{\infty} = 0 }$ La suite $(f_n)$ converge donc uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ .

Inversion des limites entre le choix de la finesse de la subdivision et le rang de convergence.

Sur un segment, la convergence simple associée à une propriété d'équicontinuité (ex: constante de Lipschitz commune) entraîne la convergence uniforme.