Étude d'une série de fonctions rationnelles alternée

Résolution.

1. Soit $u_n(x) = \frac{(-1)^{n-1} n}{n^2+x^2}$. Pour $x$ fixé, la suite $(|u_n(x)|)_{n \geq 1}$ tend vers $0$. Elle est décroissante dès que $n^2+x^2$ croît plus vite que $n$, ce qui est vrai pour $n$ assez grand (plus précisément pour $n > |x|$). D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série converge simplement sur $\mathbb{R}$. Le reste $R_n(x)$ d'une telle série est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé :
   $$|R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| = \frac{n+1}{(n+1)^2+x^2} \leq \frac{n+1}{(n+1)^2} = \frac{1}{n+1}$$
   Comme cette majoration est indépendante de $x$ et tend vers $0$, la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
2. Chaque $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Utilisons la décomposition :
   $$u_n(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{2} \left( \frac{1}{n-ix} + \frac{1}{n+ix} \right)$$
   Par dérivation d'une fraction rationnelle, pour tout $p \geq 1$ :
   $$u_n^{(p)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} p!}{2} \left( \frac{i^p}{(n-ix)^{p+1}} + \frac{(-i)^p}{(n+ix)^{p+1}} \right)$$
   On en déduit la majoration uniforme sur $\mathbb{R}$ :
   $$|u_n^{(p)}(x)| \leq \frac{p!}{2} \left( \frac{1}{|n-ix|^{p+1}} + \frac{1}{|n+ix|^{p+1}} \right) \leq \frac{p!}{n^{p+1}}$$
   Puisque $p+1 \geq 2$, la série $\sum u_n^{(p)}$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}$. Le théorème de dérivation sous le signe somme s'applique à tout ordre :
   $$\boxed{S \text{ est de classe } \mathcal{C}^\infty \text{ sur } \mathbb{R}}$$

3. La fonction $S$ est paire, donc $S'(0) = 0$. On a $S(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2)$. D'après le calcul précédent pour $p=2$ en $x=0$ :
   $$S''(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n''(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2!}{2} \left( \frac{-1}{n^3} + \frac{-1}{n^3} \right) = -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3}$$
   En notant $\eta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ la fonction êta de Dirichlet, on obtient le DL :
   $$\boxed{S(x) = \ln 2 - \eta(3) x^2 + o(x^2)}$$

4. Pour $|x| < 1$, on peut écrire :
   $$\frac{n}{n^2+x^2} = \frac{1}{n} \frac{1}{1 + (x/n)^2} = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{n^{2p+1}} x^{2p}$$
   Considérons $S(x) - \ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{n}{n^2+x^2} - \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{p=1}^{+\infty} (-1)^{n+p} \frac{x^{2p}}{n^{2p+1}}$. Vérifions la condition de Fubini pour intervertir les sommes :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{p=1}^{+\infty} \left| (-1)^{n+p} \frac{x^{2p}}{n^{2p+1}} \right| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \sum_{p=1}^{+\infty} \left( \frac{x^2}{n^2} \right)^p = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{n(n^2-x^2)}$$
   Pour $|x| < 1$, le terme général est équivalent à $x^2/n^3$, donc la série double converge absolument. On peut donc intervertir :
   $$S(x) = \ln 2 + \sum_{p=1}^{+\infty} (-1)^p \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2p+1}} \right) x^{2p}$$
   $$\boxed{S(x) = \ln 2 + \sum_{p=1}^{+\infty} (-1)^p \eta(2p+1) x^{2p}}$$
   Le rayon de convergence est $R=1$ (lié à la première singularité de $u_n$ dans $\mathbb{C}$ en $x = \pm i$).

5. 1. On sait que $\int_0^{+\infty} e^{-nt} \cos(xt)   \mathrm{d}t = \text{Re} \left( \frac{1}{n-ix} \right) = \frac{n}{n^2+x^2}$. Ainsi $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \int_0^{+\infty} e^{-nt} \cos(xt)   \mathrm{d}t$. Posons $f_n(t) = (-1)^{n-1} e^{-nt} \cos(xt)$. La série $\sum f_n(t)$ converge vers $\frac{e^{-t}}{1+e^{-t}} \cos(xt)$. Pour justifier l'interversion, on utilise le théorème sur les séries alternées : La somme partielle $\left| \sum_{n=1}^N f_n(t) \right|$ est majorée par $|f_1(t)| = e^{-t}$, qui est intégrable sur $\mathbb{R}^+$. Par convergence dominée :
      $$\boxed{S(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{1+e^{-t}} \cos(xt)   \mathrm{d}t}$$

   2. Posons $\phi(t) = \frac{e^{-t}}{1+e^{-t}}$. On a $I(x) = \int_0^{+\infty} \phi(t) \sin(xt)   \mathrm{d}t$. Par intégration par parties :
      $$S(x) = \left[ \frac{\sin(xt)}{x} \phi(t) \right]_0^{+\infty} - \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \sin(xt) \phi'(t)   \mathrm{d}t$$
      Comme $\phi(0) = 1/2$ et $\phi(+\infty) = 0$, le terme de bord est nul. De plus, $\phi'(t) = \frac{-e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}$, donc :
      $$\boxed{S(x) = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2} \sin(xt)   \mathrm{d}t}$$

   3. Repartons de l'expression de $S(x)$ et réintégrons par parties :
      $$S(x) = \frac{1}{x} \left( \left[ \frac{-\cos(xt)}{x} \phi'(t) \right]_0^{+\infty} + \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \cos(xt) \phi''(t)   \mathrm{d}t \right)$$
      Le terme de bord en $0$ vaut $\frac{\phi'(0)}{x^2}$. Or $\phi'(0) = -1/4$. Le terme en $+\infty$ est nul. L'intégrale restante est un $o(1)$ par le lemme de Riemann-Lebesgue. On en conclut :
      $$\boxed{S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{4x^2}}$$