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Limite uniforme des dérivées successives

convergence uniformedérivée n-èmeéquation différentiellethéorème de la limite de la dérivéeThéorème de dérivation des suites de fonctions

Soit f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction de classe C∞\mathcal{C}^{\infty}. On considère la suite de fonctions (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par la donnée des dérivées successives de ff, c'est-à-dire :

∀n∈N,fn=f(n)\forall n \in \mathbb{N},   f_n = f^{(n)}

On suppose que la suite (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge uniformément sur R\mathbb{R} vers une fonction φ\varphi.

Déterminer la nature de la fonction φ\varphi et donner sa forme explicite.

1.

Utiliser le théorème de la limite de la dérivée pour une suite de fonctions.

2.

Remarquer que la suite des dérivées (fn′)n≥1(f_n')_{n \geq 1} est une suite extraite (un décalage) de la suite (fn)n≥1(f_n)_{n \geq 1}.

3.

Identifier une équation différentielle satisfaite par φ\varphi.

Idées clés

•

Théorème de régularité de la limite uniforme : transfert de la dérivabilité.

•

Relation de récurrence entre les termes de la suite : fn′=fn+1f_n' = f_{n+1}.

•

Résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Résolution.

  1. Analyse de la convergence des dérivées.

    Posons, pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, un=f(n)u_n = f^{(n)}. Par hypothèse, la suite de fonctions (un)(u_n) converge uniformément sur R\mathbb{R} vers φ\varphi. Observons la suite des dérivées (un′)(u_n'). Par définition de unu_n, nous avons :

    ∀n∈N∗,un′=(f(n))′=f(n+1)=un+1\forall n \in \mathbb{N}^*,   u_n' = \left( f^{(n)} \right)' = f^{(n+1)} = u_{n+1}
    Puisque la suite (un)n≥1(u_n)_{n \geq 1} converge uniformément vers φ\varphi sur R\mathbb{R}, la suite décalée (un+1)n≥1(u_{n+1})_{n \geq 1} converge également uniformément vers φ\varphi sur R\mathbb{R}. Par conséquent, nous avons le double résultat suivant :
    {un→n→+∞cvuφun′→n→+∞cvuφ\begin{cases} u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{cvu} \varphi
    u_n' \xrightarrow[n \to +\infty]{cvu} \varphi \end{cases}

  2. Application du théorème de la limite de la dérivée.

    D'après le cours sur les suites de fonctions :

    • Chaque fonction unu_n est de classe C1\mathcal{C}^1 sur R\mathbb{R} (car ff est C∞\mathcal{C}^\infty).
    • La suite (un)(u_n) converge simplement vers φ\varphi sur R\mathbb{R}.
    • La suite des dérivées (un′)(u_n') converge uniformément vers φ\varphi sur tout segment de R\mathbb{R}.

    On en déduit que la fonction limite φ\varphi est de classe C1\mathcal{C}^1 sur R\mathbb{R} et que sa dérivée est la limite de la suite des dérivées. Ainsi :

    φ′=φ\boxed{\varphi' = \varphi}

  3. Détermination de φ\varphi.

    La fonction φ\varphi est solution de l'équation différentielle linéaire y′−y=0y' - y = 0. Les solutions de cette équation sur R\mathbb{R} sont les fonctions de la forme :

    ∃C∈R,∀x∈R,φ(x)=Cex\exists C \in \mathbb{R},   \forall x \in \mathbb{R},   \boxed{\varphi(x) = C e^x}

  4. Synthèse et existence. Réciproquement, si φ(x)=Cex\varphi(x) = C e^x, il suffit de choisir f(x)=Cexf(x) = C e^x pour que f(n)(x)=Cexf^{(n)}(x) = C e^x pour tout nn, ce qui assure la convergence uniforme vers φ\varphi. Plus généralement, si f(x)=Cex+P(x)f(x) = C e^x + P(x) où PP est un polynôme de degré dd, alors f(n)(x)=Cexf^{(n)}(x) = C e^x pour tout n>dn > d, et la convergence uniforme vers φ\varphi est encore vérifiée.

Oublier de justifier la dérivabilité de la limite par la convergence uniforme des dérivées.

Si f_n converge uniformément et f_n' = f_{n+1}, alors la limite vérifie phi' = phi.