Convergence uniforme d'une suite de fonctions logarithmiques

Pour chaque entier $n \in \mathbb{N}^{*}$ , on définit la fonction $u_{n}$ sur l'intervalle $[0, 1]$ par :

u_{n}(x) = \begin{cases} x^{n} \ln (x) & \text{si } x \in ]0, 1] 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}

Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions $(u_{n})_{n \geq 1}$ sur l'intervalle $[0, 1]$ .

1.

Commencer par déterminer la limite simple de la suite $(u_n)$ sur $[0, 1]$ .

2.

Pour étudier la convergence uniforme, il est nécessaire de calculer la norme infinie $\|u_n - f\|_\infty$ où $f$ est la limite simple.

3.

Utiliser les variations de la fonction $u_n$ pour déterminer son extremum sur $[0, 1]$ .

Idées clés

•

Étude de la convergence simple pour identifier la fonction limite.

•

Utilisation de la dérivation pour localiser le maximum de l'écart.

•

Caractérisation de la convergence uniforme par la limite de la norme supérieure.

Étape 1 : Convergence simple.

Soit $x \in ]0, 1]$ . Comme $|x| \leq 1$ , la suite géométrique $(x^n)$ converge. Plus précisément, si $x \in ]0, 1[$ , alors $x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ . Si $x = 1$ , alors $u_n(1) = 1^n \ln(1) = 0$ .

Par croissance comparée, pour tout $x \in ]0, 1[$ , on a :

\lim_{n \to +\infty} x^n \ln(x) = 0

Enfin, par définition, $u_n(0) = 0$ pour tout $n \geq 1$ . La suite de fonctions $(u_n)$ converge donc simplement vers la fonction nulle $f : x \mapsto 0$ sur $[0, 1]$ .

Étape 2 : Étude des variations pour la convergence uniforme.

Pour $n \geq 1$ , la fonction $u_n$ est continue sur $[0, 1]$ (car $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ ). Elle est dérivable sur $]0, 1]$ et on a :

\forall x \in ]0, 1],   u_n'(x) = n x^{n-1} \ln(x) + x^n \cdot \frac{1}{x} = x^{n-1} \left( n \ln(x) + 1 \right)

Cherchons le point d'annulation de la dérivée sur $]0, 1]$ :

u_n'(x) = 0 \iff n \ln(x) + 1 = 0 \iff \ln(x) = -\frac{1}{n} \iff x = e^{-1/n}

La fonction $u_n$ est décroissante sur $]0, e^{-1/n}]$ et croissante sur $[e^{-1/n}, 1]$ . Le minimum global de $u_n$ sur $[0, 1]$ est atteint en $x_n = e^{-1/n}$ .

Étape 3 : Calcul de la norme infinie et conclusion.

L'écart maximal entre $u_n$ et sa limite nulle est donné par :

\|u_n - 0\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} |u_n(x)| = |u_n(e^{-1/n})|

Calculons cette valeur :

|u_n(e^{-1/n})| = \left| (e^{-1/n})^n \ln(e^{-1/n}) \right| = \left| e^{-1} \cdot \left( -\frac{1}{n} \right) \right| = \frac{1}{ne}

On en déduit :

\boxed{ \|u_n\|_\infty = \frac{1}{ne} }

Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{ne} = 0$ , nous pouvons conclure :

\boxed{ \text{La suite } (u_n) \text{ converge uniformément vers la fonction nulle sur } [0, 1]. }

Vérifier la continuité en 0 par croissance comparée avant d'étudier l'extremum.

La convergence uniforme équivaut à la convergence vers 0 de la norme infinie de la différence.