Approximation C1 de la valeur absolue

Résolution.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $u_n : x \mapsto x^2 + \frac{1}{n}$ est polynomiale, donc de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geq 0$ donc $u_n(x) \geq \frac{1}{n} > 0$. La fonction racine carrée est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_{+}^*$. Par composition, $f_n = \sqrt{u_n}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$, et en particulier :
   $$\boxed{ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ f_n \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) }$$

2. Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Lorsque $n \to +\infty$, $\frac{1}{n} \to 0$. Par continuité de la racine carrée, on a :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \sqrt{x^2} = |x|$$
   Ainsi, la suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f$ définie par :
   $$\boxed{ \forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) = |x| }$$

3. Pour étudier la convergence uniforme, on examine la quantité $|f_n(x) - f(x)|$ pour $x \in \mathbb{R}$. On utilise l'expression conjuguée : \begin{align*} |f_n(x) - f(x)| &= \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - |x|
   &= \frac{\left(\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}\right)^2 - |x|^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + |x|}
   &= \frac{x^2 + \frac{1}{n} - x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + |x|}
   &= \frac{1/n}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + |x|} \end{align*} On cherche à majorer cette expression par un terme indépendant de $x$. Comme $\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} \geq \sqrt{0 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ et $|x| \geq 0$, le dénominateur est minoré par $\frac{1}{\sqrt{n}}$. On en déduit :
   $$\forall x \in \mathbb{R}, \ 0 \leq f_n(x) - f(x) \leq \frac{1/n}{1/\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$$
   Cette majoration est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc :
   $$\|f_n - f\|_{\infty, \mathbb{R}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$, on conclut par le théorème des gendarmes :
   $$\boxed{ \|f_n - f\|_{\infty, \mathbb{R}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 }$$
   La suite $(f_n)$ converge donc uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. La fonction limite est $f : x \mapsto |x|$. Cette fonction est continue sur $\mathbb{R}$, mais elle n'est pas dérivable en $0$. Par conséquent, $f$ n'est pas de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. Conclusion : Cet exercice montre que la convergence uniforme d'une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ n'assure pas que la limite soit elle-même de classe $\mathcal{C}^1$. Pour garantir que la limite soit $\mathcal{C}^1$, il faudrait en plus la convergence uniforme de la suite des dérivées $(f'_n)$.