Série de fonctions à supports disjoints

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définies sur $I = [0, +\infty[$ par :

\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in I,   u_{n}(x) = \frac{1}{n+1} \mathbf{1}_{[n, n+1[}(x)

où

\mathbf{1}_{[n, n+1[}

désigne la fonction indicatrice de l'intervalle

[n, n+1[

.

Étudier les modes de convergence suivants pour la série de fonctions $\sum u_n$ sur $I$ :

Convergence simple.
Convergence normale.
Convergence uniforme.

1.

Pour la convergence simple, fixer $x \in [0, +\infty[$ et observer combien de termes de la série sont non nuls pour cette valeur.

2.

Pour la convergence normale, calculer la norme infinie $\|u_n\|_\infty$ sur $[0, +\infty[$ et étudier la nature de la série numérique associée.

3.

Pour la convergence uniforme, exprimer le reste $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ et chercher à majorer $|R_N(x)|$ par une suite tendant vers 0, indépendamment de $x$ .

Idées clés

•

Partition de l'unité (supports disjoints).

•

Lien entre reste d'une série et convergence uniforme.

•

Comparaison entre convergence normale et uniforme.

1. Étude de la convergence simple.

Soit $x \in [0, +\infty[$ fixé. Il existe un unique entier $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \leq x < k+1$ . Cet entier est la partie entière de $x$ , notée $\lfloor x \rfloor$ .

Par définition des fonctions indicatrices, on a :

u_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{k+1} & \text{si } n = k 0 & \text{si } n \neq k \end{cases}

La série $\sum u_n(x)$ ne possède donc qu'un seul terme non nul. Elle est donc trivialement convergente pour tout $x \in I$ .

En notant $S$ la fonction somme, on a :

\forall x \in [0, +\infty[,   S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) = \frac{1}{\lfloor x \rfloor + 1}

\boxed{ \text{La série } \sum u_n \text{ converge simplement sur } [0, +\infty[ \text{ vers } x \mapsto \frac{1}{\lfloor x \rfloor + 1} }

2. Étude de la convergence normale.

Pour chaque $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $u_n$ est bornée sur $[0, +\infty[$ . Sa valeur maximale est atteinte pour n'importe quel $x \in [n, n+1[$ .

On a immédiatement :

\|u_n\|_{\infty} = \sup_{x \in [0, +\infty[} |u_n(x)| = \frac{1}{n+1}

La série numérique $\sum \|u_n\|_{\infty}$ est la série harmonique (décalée), qui est divergente.

\boxed{ \text{La série } \sum u_n \text{ ne converge pas normalement sur } [0, +\infty[ }

3. Étude de la convergence uniforme.

Soit $N \in \mathbb{N}$ . Considérons le reste d'ordre $N$ défini par $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ .

Premier cas : Si $x \in [0, N+1[$ . Alors $\lfloor x \rfloor \in \{0, 1, \dots, N\}$ . Dans la somme définissant $R_N(x)$ , tous les indices $n$ sont strictement supérieurs à $N$ , donc $n > \lfloor x \rfloor$ . Ainsi, pour tout $n \geq N+1$ , $u_n(x) = 0$ . D'où $R_N(x) = 0$ .

Second cas : Si $x \in [N+1, +\infty[$ . Alors $\lfloor x \rfloor \geq N+1$ . Le seul terme non nul de la série entière $\sum u_n(x)$ correspond à l'indice $n = \lfloor x \rfloor$ . Puisque cet indice appartient à l'intervalle de sommation du reste ( $\lfloor x \rfloor \geq N+1$ ), on a :

R_N(x) = u_{\lfloor x \rfloor}(x) = \frac{1}{\lfloor x \rfloor + 1}

Puisque $\lfloor x \rfloor \geq N+1$ , on en déduit que $\lfloor x \rfloor + 1 \geq N+2$ , donc :

|R_N(x)| \leq \frac{1}{N+2}

En résumé, pour tout $x \in [0, +\infty[$ , nous avons :

|R_N(x)| \leq \max\left(0, \frac{1}{N+2}\right) = \frac{1}{N+2}

Par passage au supremum :

\|R_N\|_{\infty} \leq \frac{1}{N+2} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0

\boxed{ \text{La série } \sum u_n \text{ converge uniformément sur } [0, +\infty[ }

Confondre convergence normale et convergence uniforme.

Méthode d'étude du reste pour la convergence uniforme.