Étude d'une fonction définie par une série de produits

Résolution.

1. Existence et continuité. Soit $x \in ]0, +\infty[$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
   $$0 < f_n(x) = \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)} \leq \frac{1}{x \cdot n!}$$
   La série numérique $\sum \frac{1}{n!}$ converge (sa somme est $e$). Par comparaison, la série définissant $S(x)$ converge absolument pour tout $x > 0$. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a la majoration :
   $$|f_n(x)| \leq \frac{1}{a \cdot n!}$$
   Comme le terme de droite est le terme général d'une série convergente indépendant de $x$, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$. Chaque fonction $f_n$ est continue sur $]0, +\infty[$. Par convergence normale (donc uniforme) sur tout segment inclus dans $]0, +\infty[$, on en déduit :
   $$\boxed{ S \text{ est continue sur } ]0, +\infty[ }$$

2. Équation fonctionnelle. Pour $x > 0$, isolons le premier terme de la somme ($n=0$) :
   $$S(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)}$$
   On factorise par $\frac{1}{x}$ dans la somme :
   $$S(x) = \frac{1}{x} \left( 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)\dots(x+n)} \right)$$
   Effectuons le changement d'indice $m = n-1$ dans la somme :
   $$S(x) = \frac{1}{x} \left( 1 + \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)\dots(x+1+m)} \right)$$
   On reconnaît l'expression de $S(x+1)$ dans la parenthèse. On obtient donc :
   $$\boxed{ S(x) = \frac{1 + S(x+1)}{x} }$$

3. Équivalent en $+\infty$. Puisque la série converge uniformément sur $[1, +\infty[$, on peut intervertir limite et somme :
   $$\lim_{x \to +\infty} S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} f_n(x)$$
   Comme chaque $f_n(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$, on a $\lim_{x \to +\infty} S(x) = 0$. En utilisant l'équation fonctionnelle :
   $$x S(x) = 1 + S(x+1)$$
   Puisque $S(x+1) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$, il vient $x S(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$.
   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x} }$$

4. Équivalent en $0^+$. Calculons d'abord $S(1)$ :
   $$S(1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n+1)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!}$$
   Par décalage d'indice $k = n+1$, on obtient :
   $$S(1) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k!} = \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \right) - 1 = e - 1$$
   D'après la question 1, $S$ est continue en $1$, donc $\lim_{x \to 0^+} S(x+1) = S(1) = e - 1$. En utilisant à nouveau $x S(x) = 1 + S(x+1)$, on a :
   $$\lim_{x \to 0^+} x S(x) = 1 + (e - 1) = e$$
   On en conclut l'équivalent :
   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{e}{x} }$$