Stabilité de la convergence uniforme par le carré

Résolution.

1. Étude de la suite $(f_n)$ : Soit $x \in [0, +\infty[$. On a :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \left( x + \frac{1}{n} \right) = x$$
   Ainsi, la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction identité $f : x \mapsto x$ sur $I$. Pour étudier la convergence uniforme, calculons la quantité :
   $$|f_n(x) - f(x)| = \left| x + \frac{1}{n} - x \right| = \frac{1}{n}$$
   Cette quantité est indépendante de la variable $x$. On en déduit :
   $$\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n}$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, nous pouvons conclure :
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur } [0, +\infty[.}$$

2. Étude de la suite $(g_n)$ : Soit $x \in [0, +\infty[$. Par continuité de la fonction carré :
   $$\lim_{n \to +\infty} g_n(x) = \lim_{n \to +\infty} (f_n(x))^2 = (f(x))^2 = x^2$$
   La suite $(g_n)$ converge simplement vers la fonction $g : x \mapsto x^2$ sur $I$. Étudions l'écart entre $g_n$ et sa limite $g$ : \begin{align*} |g_n(x) - g(x)| &= |(x + 1/n)^2 - x^2|
   &= \left| x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} - x^2 \right|
   &= \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \end{align*} Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2}$ n'est pas bornée sur $[0, +\infty[$. En effet, $\lim_{x \to +\infty} |g_n(x) - g(x)| = +\infty$. Par conséquent, le supremum sur $I$ n'est pas fini :
   $$\sup_{x \in [0, +\infty[} |g_n(x) - g(x)| = +\infty$$
   Comme ce supremum ne tend pas vers 0, nous concluons :
   $$\boxed{\text{La suite } (g_n) \text{ ne converge pas uniformément vers } g \text{ sur } [0, +\infty[.}$$
   On peut aussi utiliser une suite particulière, par exemple $x_n = n$. On remarque alors que :
   $$|g_n(n) - g(n)| = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2 \neq 0$$