Série logarithmique de matrices

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On munit l'algèbre $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ d'une norme $\|\cdot\|$ sous-multiplicative, c'est-à-dire vérifiant :

\forall (A, B) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^2,   \|A B\| \leq \|A\| \|B\|

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . On définit, pour tout réel $t$ tel que $|t| < \frac{1}{\|A\|}$ , la fonction $f$ par :

f(t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} t^{k} A^{k}

Établir que la fonction $f$ est bien définie sur l'intervalle $I = \left] -\frac{1}{\|A\|}, \frac{1}{\|A\|} \right[$ .
Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et qu'elle satisfait l'équation différentielle suivante : $(I_n - tA) f'(t) = A$

1.

Pour la définition, montrer la convergence absolue de la série en utilisant la propriété de la norme et la convergence des séries numériques géométriques.

2.

Pour la régularité, étudier la convergence normale de la série des dérivées sur tout segment inclus dans $I$ .

3.

Pour l'identité matricielle, reconnaître une série géométrique de matrices et utiliser le fait que $(I_n - tA)$ est inversible pour $\|tA\| < 1$ .

Idées clés

•

Convergence absolue dans un espace vectoriel de dimension finie (complet).

•

Théorème de dérivation des séries de fonctions (convergence normale des dérivées).

•

Somme de Neumann : $(I_n - M)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} M^k$ pour $\|M\| < 1$ .

Résolution.

Soit $t \in I$ . On a $|t| < \frac{1}{\|A\|}$ , donc $|t| \|A\| < 1$ . Pour tout $k \geq 1$ , par sous-multiplicativité de la norme, on a $\|A^k\| \leq \|A\|^k$ . On en déduit la majoration du terme général : $\left\| \frac{1}{k} t^k A^k \right\| = \frac{|t|^k}{k} \|A^k\| \leq \frac{(|t| \|A\|)^k}{k} \leq (|t| \|A\|)^k$ Comme $|t| \|A\| \in [0, 1[$ , la série numérique $\sum (|t| \|A\|)^k$ converge (série géométrique). Par comparaison, la série $\sum \frac{1}{k} t^k A^k$ est absolument convergente. L'espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ étant de dimension finie, il est complet. Toute série absolument convergente y est convergente. $\boxed{\text{La fonction } f \text{ est donc bien définie sur } I.}$
Posons $u_k(t) = \frac{1}{k} t^k A^k$ pour $k \in \mathbb{N}^*$ . Chaque $u_k$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et : $u_k'(t) = t^{k-1} A^k$ Soit $\rho \in \left[0, \frac{1}{\|A\|} \right[$ . Pour tout $t \in [-\rho, \rho]$ : $\|u_k'(t)\| = |t|^{k-1} \|A^k\| \leq \rho^{k-1} \|A\|^k$ Le terme de droite est le terme général d'une série numérique convergente car sa raison est $\rho \|A\| < 1$ . La série des dérivées $\sum u_k'$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur tout segment $[-\rho, \rho]$ inclus dans $I$ . D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et sa dérivée s'obtient par dérivation terme à terme : $f'(t) = \sum_{k=1}^{+\infty} t^{k-1} A^k = \sum_{j=0}^{+\infty} t^j A^{j+1}$ Puisque $A$ commute avec ses puissances, on peut mettre $A$ en facteur : $f'(t) = A \left( \sum_{j=0}^{+\infty} (tA)^j \right)$ Comme $\|tA\| = |t| \|A\| < 1$ , on reconnaît le développement en série de Neumann de l'inverse de $(I_n - tA)$ : $\sum_{j=0}^{+\infty} (tA)^j = (I_n - tA)^{-1}$ Ainsi : $f'(t) = A (I_n - tA)^{-1}$ En multipliant à gauche par $(I_n - tA)$ , on obtient : $(I_n - tA) f'(t) = (I_n - tA) A (I_n - tA)^{-1}$ Comme $A$ et $(I_n - tA)$ commutent, on a $(I_n - tA) A = A (I_n - tA)$ . D'où : $(I_n - tA) f'(t) = A (I_n - tA) (I_n - tA)^{-1}$ $\boxed{(I_n - tA) f'(t) = A}$

Oublier de travailler sur des segments compacts pour la convergence normale des dérivées.

Développement en série de (I-M)^{-1} pour ||M|| < 1.