Commutateur et relation de Heisenberg

Résolution.

1. Procédons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$. Initialisation : Pour $n=1$, la relation s'écrit $f \circ g - g \circ f = 1 \cdot g^0 = \text{Id}_E$, ce qui est exactement l'hypothèse de l'énoncé. Hérédité : Supposons que pour un $n \geqslant 1$ fixé, on ait $f \circ g^n - g^n \circ f = n g^{n-1}$. Calculons $f \circ g^{n+1} - g^{n+1} \circ f$ : \begin{align*} f \circ g^{n+1} - g^{n+1} \circ f &= (f \circ g^n) \circ g - g^{n+1} \circ f
   &= (g^n \circ f + n g^{n-1}) \circ g - g^{n+1} \circ f   \text{(par hypothèse)}
   &= g^n \circ (f \circ g) + n g^n - g^{n+1} \circ f
   &= g^n \circ (g \circ f + \text{Id}_E) + n g^n - g^{n+1} \circ f   \text{(car } f \circ g = g \circ f + \text{Id}_E)
   &= g^{n+1} \circ f + g^n + n g^n - g^{n+1} \circ f
   &= (n+1) g^n \end{align*} La propriété est donc démontrée par récurrence.
   $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^*,   f \circ g^n - g^n \circ f = n g^{n-1}}$$

2. Supposons par l'absurde que $f$ et $g$ soient tous deux continus. Alors leurs normes d'opérateurs $\|f\|$ et $\|g\|$ sont bien définies. Remarquons d'abord que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $g^n \neq 0$. En effet, si $g^n = 0$ pour un certain $n$, alors d'après la formule précédente $n g^{n-1} = 0$, donc $g^{n-1} = 0$. Par descente finie, on obtiendrait $g = 0$, ce qui impliquerait $\text{Id}_E = 0$, exclu si $E \neq \{0\}$. En utilisant l'inégalité triangulaire et la sous-multiplicativité de la norme d'opérateur sur la relation du point 1 : \begin{align*} n \|g^{n-1}\| &= \|f \circ g^n - g^n \circ f\|
   &\leqslant \|f \circ g^n\| + \|g^n \circ f\|
   &\leqslant \|f\| \cdot \|g^n\| + \|g^n\| \cdot \|f\|
   &\leqslant 2 \|f\| \cdot \|g\| \cdot \|g^{n-1}\| \end{align*} Comme $g^{n-1} \neq 0$, on peut diviser par $\|g^{n-1}\|$ :
   $$n \leqslant 2 \|f\| \cdot \|g\|$$
   Cette inégalité doit être vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, ce qui est impossible car le membre de gauche tend vers $+\infty$ tandis que le membre de droite est constant.
   $$\boxed{\text{L'un au moins des endomorphismes } f \text{ ou } g \text{ est discontinu.}}$$

3. Si $E$ est de dimension finie, on sait que toutes les applications linéaires sur $E$ sont continues pour n'importe quelle norme choisie. D'après le résultat de la question 2, il est impossible de trouver $f, g$ continus vérifiant la relation. Comme ils sont nécessairement continus en dimension finie, un tel couple ne peut exister. Remarque alternative (Algébrique) : En dimension finie, on peut utiliser la trace. On aurait $\text{Tr}(f \circ g - g \circ f) = \text{Tr}(\text{Id}_E)$. Or $\text{Tr}(f \circ g) = \text{Tr}(g \circ f)$, donc $\text{Tr}(f \circ g - g \circ f) = 0$. D'autre part, $\text{Tr}(\text{Id}_E) = \dim(E)$. D'où $0 = \dim(E)$, ce qui n'est possible que si $E=\{0\}$.
   $$\boxed{\nexists (f,g) \in \mathcal{L}(E)^2 \text{ tel que } [f,g] = \text{Id}_E \text{ si } \dim E < +\infty}$$

4. Considérons $E = \mathbb{K}[X]$. On définit les endomorphismes suivants :
   • $f : P \mapsto P'$ (dérivation)
   • $g : P \mapsto XP$ (multiplication par la variable)
   Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Calculons $(f \circ g - g \circ f)(P)$ : \begin{align*} (f \circ g)(P) &= f(XP) = (XP)' = P + XP'
   (g \circ f)(P) &= g(P') = XP' \end{align*} Par différence, on obtient :
   $$(f \circ g - g \circ f)(P) = P + XP' - XP' = P$$
   Comme cela est vrai pour tout $P$, on a bien $f \circ g - g \circ f = \text{Id}_E$.
   $$\boxed{\text{Exemple : } f(P)=P' \text{ et } g(P)=XP}$$