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Caractérisation de la complétude par densité

denseCauchycompletBanachinégalité triangulaireApproximation par densitéSuite de Cauchy

Soit (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) un espace vectoriel normé et AA une partie dense de EE.

On suppose que toute suite de Cauchy d'éléments de AA converge dans EE.

Démontrer que l'espace EE est complet (c'est-à-dire que EE est un espace de Banach).

1.

Soit (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de Cauchy de EE. L'objectif est de montrer qu'elle converge dans EE.

2.

Utilisez la densité de AA pour construire une suite (an)n∈N∗(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} d'éléments de AA telle que ∥xn−an∥\|x_n - a_n\| soit arbitrairement petit.

3.

Montrez que cette suite auxiliaire (an)(a_n) est également de Cauchy, puis utilisez l'hypothèse de l'énoncé.

Idées clés

•

Approximation d'une suite quelconque par une suite dans une partie dense.

•

Utilisation de l'inégalité triangulaire pour transférer la propriété de Cauchy.

•

Critère de convergence par proximité d'une suite convergente.

Résolution.

Considérons une suite (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} d'éléments de EE que l'on suppose de Cauchy.

Par densité de AA dans EE, pour tout entier n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, il existe un élément an∈Aa_n \in A tel que :

∥xn−an∥≤1n\boxed{\|x_n - a_n\| \leq \frac{1}{n}}

Montrons que la suite (an)n∈N∗(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} est une suite de Cauchy de AA. Soit ε>0\varepsilon > 0.

Puisque (xn)(x_n) est une suite de Cauchy, il existe un rang N1∈NN_1 \in \mathbb{N} tel que :

∀p,q≥N1,∥xp−xq∥≤ε3\forall p, q \geq N_1,   \|x_p - x_q\| \leq \frac{\varepsilon}{3}

Fixons également un rang N2∈NN_2 \in \mathbb{N} tel que 1/N2≤ε/31/N_2 \leq \varepsilon/3. Posons N=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2). Pour tous p,q≥Np, q \geq N, nous utilisons l'inégalité triangulaire : \begin{align*} \|a_p - a_q\| &= \|(a_p - x_p) + (x_p - x_q) + (x_q - a_q)\|
&\leq \|a_p - x_p\| + \|x_p - x_q\| + \|x_q - a_q\| \end{align*}

En utilisant les majorations établies précédemment : \begin{align*} \|a_p - a_q\| &\leq \frac{1}{p} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{1}{q}
&\leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{align*}

On en déduit que :

La suite (an)n∈N∗ est de Cauchy dans A\boxed{\text{La suite } (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \text{ est de Cauchy dans } A}

D'après l'hypothèse, toute suite de Cauchy d'éléments de AA converge dans EE. Il existe donc un élément ℓ∈E\ell \in E tel que :

lim⁡n→+∞an=ℓ\lim_{n \to +\infty} a_n = \ell

Enfin, montrons que la suite (xn)(x_n) converge vers ce même vecteur ℓ\ell. Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on écrit :

∥xn−ℓ∥≤∥xn−an∥+∥an−ℓ∥\|x_n - \ell\| \leq \|x_n - a_n\| + \|a_n - \ell\|

Comme ∥xn−an∥≤1/n→0\|x_n - a_n\| \leq 1/n \to 0 et ∥an−ℓ∥→0\|a_n - \ell\| \to 0 quand n→+∞n \to +\infty, on en conclut par encadrement que :

lim⁡n→+∞xn=ℓ\boxed{\lim_{n \to +\infty} x_n = \ell}

Toute suite de Cauchy de EE convergeant dans EE, l'espace est complet.

Ne pas supposer que la limite de la suite est dans la partie dense.

La complétude peut se vérifier sur une partie dense.