Limite d'une moyenne géométrique

moyenne géométrique AM-GM série convergente Cesàro Inégalité arithmético-géométrique Théorème d'encadrement

Soit $(a_n)_{n \ge 1}$ une suite de nombres réels strictement positifs.

On suppose que la série de terme général $a_n$ est convergente.

Démontrer que la suite de sa moyenne géométrique converge vers $0$ , c'est-à-dire :

\lim_{n \to +\infty} \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^{1/n} = 0

Utiliser l'inégalité de convexité reliant la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique (inégalité arithmético-géométrique).

Étudier le comportement de la moyenne arithmétique des termes d'une série convergente en utilisant la limite des sommes partielles.

Idées clés

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Inégalité arithmético-géométrique : $\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k} \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$ .

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Lien entre convergence d'une série et comportement de ses sommes partielles.

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Théorème d'encadrement pour les limites de suites.

Résolution.

Considérons, pour tout entier $n \ge 1$ , la quantité $G_n = (a_1 a_2 \dots a_n)^{1/n}$ .

D'après l'inégalité arithmético-géométrique, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a l'encadrement suivant :

0 < \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^{1/n} \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k

Notons $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum a_n$ .

Par hypothèse, la série $\sum a_n$ est convergente. Cela signifie qu'il existe un réel $S$ tel que :

\lim_{n \to +\infty} S_n = S

Dès lors, par les propriétés élémentaires des limites de suites (quotient par une suite tendant vers l'infini), nous obtenons :

\lim_{n \to +\infty} \frac{S_n}{n} = 0

En revenant à notre inégalité de départ :

0 < G_n \le \frac{S_n}{n}

D'après le théorème d'encadrement (théorème des "gendarmes"), puisque les deux membres extrêmes tendent vers $0$ , nous en déduisons la limite de la suite $(G_n)$ :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \left( a_1 a_2 \dots a_n \right)^{1/n} = 0 }

Utiliser Cesàro sans préciser que le terme général tend vers 0.

L'inégalité AM-GM permet de relier produits et sommes partielles.