Rayon spectral et puissances d'une matrice

Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice diagonalisable.

On définit son rayon spectral par la quantité :

\rho(M) = \max_{\lambda \in \text{Sp}(M)} |\lambda|

Soit $\|\cdot\|$ une norme quelconque sur l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . Pour tout entier $p \in \mathbb{N}^*$ , on pose :

f_{p}(M) = \left\|M^{p}\right\|^{1/p}

Montrer que la suite $(f_p(M))_{p \in \mathbb{N}^*}$ converge et que sa limite est $\rho(M)$ .

1.

Commencer par exprimer $M^p$ en fonction d'une matrice diagonale $D$ via la relation de similitude.

2.

Utiliser l'équivalence des normes en dimension finie pour comparer $\|\cdot\|$ à une norme plus simple (comme la norme infinie des coefficients dans une base bien choisie).

3.

Appliquer le théorème des gendarmes après être passé à la puissance $1/p$ .

Idées clés

•

Réduction : utilisation de la diagonalisabilité pour simplifier le calcul des puissances.

•

Analyse : équivalence des normes en dimension finie.

•

Comportement asymptotique des racines $p$ -ièmes.

Résolution.

Puisque la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , il existe une matrice inversible $P \in \text{GL}_n(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ telles que :

M = P D P^{-1}

Par une récurrence immédiate, pour tout entier naturel $p$ , on obtient l'expression de la puissance $p$ -ième :

M^p = P D^p P^{-1}   \text{avec}   D^p = \text{diag}(\lambda_1^p, \dots, \lambda_n^p)

Considérons maintenant l'application $N : A \mapsto \|P^{-1} A P\|_\infty$ , où $\|B\|_\infty = \max_{1 \le i,j \le n} |b_{i,j}|$ désigne la norme "infini" appliquée aux coefficients de la matrice $B$ .

On vérifie aisément que $N$ définit une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Il existe donc deux constantes strictement positives $a$ et $b$ telles que :

\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),   a N(A) \le \|A\| \le b N(A)

Appliquons cet encadrement à la matrice $A = M^p$ :

a N(M^p) \le \|M^p\| \le b N(M^p)

Or, par définition de la norme $N$ et de la puissance de $D$ :

N(M^p) = \|P^{-1} (P D^p P^{-1}) P\|_\infty = \|D^p\|_\infty

Puisque $D^p$ est une matrice diagonale, sa norme infini est égale au plus grand module de ses coefficients diagonaux :

\|D^p\|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i^p| = \left( \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i| \right)^p = \rho(M)^p

Nous obtenons ainsi l'encadrement suivant pour tout $p \ge 1$ :

a \rho(M)^p \le \|M^p\| \le b \rho(M)^p

En appliquant la fonction racine $p$ -ième (qui est croissante sur $\mathbb{R}^+$ ), il vient :

\boxed{ a^{1/p} \rho(M) \le \|M^p\|^{1/p} \le b^{1/p} \rho(M) }

Étudions la limite de chaque membre lorsque $p \to +\infty$ :

Comme $a > 0$ , on a $\lim_{p \to +\infty} a^{1/p} = 1$ .
De même, comme $b > 0$ , on a $\lim_{p \to +\infty} b^{1/p} = 1$ .

D'après le théorème des gendarmes, nous en déduisons que la suite $(\|M^p\|^{1/p})_{p \in \mathbb{N}^*}$ converge et :

\boxed{ \lim_{p \to +\infty} \|M^p\|^{1/p} = \rho(M) }

Vouloir utiliser la sous-multiplicativité sans justification sur la nature de la norme.

La limite de ||M^p||^(1/p) est toujours le rayon spectral de M.