Convergence d'une série pondérée

Résolution.

1. Nous souhaitons montrer la convergence absolue de la série $\sum \frac{a_n}{n}$. Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$, appliquons l'inégalité $2|xy| \le x^2 + y^2$ aux réels $x = |a_n|$ et $y = \frac{1}{n}$. On obtient la majoration suivante :
   $$\left| \frac{a_n}{n} \right| \le \frac{1}{2} \left( a_n^2 + \frac{1}{n^2} \right)$$

   Or, par hypothèse de l'énoncé, la série $\sum a_n^2$ est convergente. De plus, la série $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente (d'exposant $2 > 1$). Par linéarité de la somme pour les séries convergentes, la série de terme général $\frac{1}{2} \left( a_n^2 + \frac{1}{n^2} \right)$ est convergente.

   Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, nous en déduisons que la série $\sum \left| \frac{a_n}{n} \right|$ converge.

   $$\boxed{\text{La série } \sum \frac{a_n}{n} \text{ est donc absolument convergente.}}$$

2. Examinons la réciproque : "Si $\sum \frac{a_n}{n}$ converge, alors $\sum a_n^2$ converge". Considérons la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par :
   $$a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$$

   Étudions la convergence de la série pondérée associée :

   $$\frac{a_n}{n} = \frac{1}{n \sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}$$

   Il s'agit d'une série de Riemann d'exposant $\alpha = \frac{3}{2}$. Puisque $\alpha > 1$, la série $\sum \frac{a_n}{n}$ converge.

   Étudions maintenant la série des carrés :

   $$a_n^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^2 = \frac{1}{n}$$

   On reconnaît le terme général de la série harmonique, qui est notoirement divergente.

   $$\boxed{\text{La réciproque est donc fausse.}}$$