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Sommes itérées et non-sommabilité

série doubletélescopagesommabilitéFubiniRiemannDécomposition en éléments simplesSommes de RiemannThéorème de Fubini

Soit mm un entier naturel. On considère la suite (um,n)n∈N(u_{m,n})_{n \in \mathbb{N}} définie par :

∀n∈N,um,n={1m2−n2si n≠m0si n=m\forall n \in \mathbb{N},   u_{m,n} = \begin{cases} \dfrac{1}{m^2 - n^2} & \text{si } n \neq m
0 & \text{si } n = m \end{cases}

  1. Soit m∈N∗m \in \mathbb{N}^*. Démontrer que la série ∑n≥0um,n\sum_{n \ge 0} u_{m,n} converge et que sa somme vaut 14m2\frac{1}{4m^2}.
  2. On pose, pour tout m∈Nm \in \mathbb{N}, Sm=∑n=0+∞um,nS_m = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{m,n}. Calculer explicitement SmS_m pour tout m∈Nm \in \mathbb{N}.
  3. Déterminer les valeurs des sommes itérées suivantes :
    A=∑m=0+∞(∑n=0+∞um,n)etB=∑n=0+∞(∑m=0+∞um,n)A = \sum_{m=0}^{+\infty} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} u_{m,n} \right)   \text{et}   B = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sum_{m=0}^{+\infty} u_{m,n} \right)
  4. La famille (um,n)(m,n)∈N2(u_{m,n})_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} est-elle sommable ? Justifier.

1.

Pour la question 1, effectuer une décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle 1m2−n2\frac{1}{m^2-n^2} par rapport à la variable nn. On pourra ensuite utiliser un télescopage partiel sur les sommes finies.

2.

Pour la question 2, ne pas oublier de traiter séparément le cas m=0m=0. On rappelle que ∑k=1+∞1k2=π26\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.

3.

Pour la question 3, utiliser l'antisymétrie du terme général um,nu_{m,n} pour déduire BB de AA.

4.

Pour la question 4, repenser au théorème d'interversion pour les familles sommables (Théorème de Fubini).

Idées clés

•

Décomposition en éléments simples : 1m2−n2=12m(1m−n+1m+n)\frac{1}{m^2-n^2} = \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{m-n} + \frac{1}{m+n} \right).

•

Calcul de sommes partielles par décalage d'indices.

•

Théorème de Fubini : pour une famille sommable, l'ordre de sommation n'importe pas.

Résolution.

  1. Soit m∈N∗m \in \mathbb{N}^*. Pour n≠mn \neq m, on a la décomposition :
    1m2−n2=12m(1m−n+1m+n)\frac{1}{m^2 - n^2} = \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{m-n} + \frac{1}{m+n} \right)

    Considérons la somme partielle Sm,N=∑n=0,n≠mNum,nS_{m,N} = \sum_{n=0, n \neq m}^{N} u_{m,n} pour N>2mN > 2m. En substituant la décomposition, on obtient :

    Sm,N=12m(∑n=0m−11m−n+∑n=0m−11m+n+∑n=m+1N1m−n+∑n=m+1N1m+n)S_{m,N} = \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{m-n} + \sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{m+n} + \sum_{n=m+1}^{N} \frac{1}{m-n} + \sum_{n=m+1}^{N} \frac{1}{m+n} \right)

    Effectuons des changements d'indices k=m−nk = m-n ou k=m+nk = m+n :

    ∑n=0m−11m−n=∑k=1m1k,∑n=0m−11m+n=∑k=m2m−11k\sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{m-n} = \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k},   \sum_{n=0}^{m-1} \frac{1}{m+n} = \sum_{k=m}^{2m-1} \frac{1}{k}
    ∑n=m+1N1m−n=∑k=1N−m−1k,∑n=m+1N1m+n=∑k=2m+1m+N1k\sum_{n=m+1}^{N} \frac{1}{m-n} = \sum_{k=1}^{N-m} \frac{-1}{k},   \sum_{n=m+1}^{N} \frac{1}{m+n} = \sum_{k=2m+1}^{m+N} \frac{1}{k}

    En regroupant, on trouve :

    Sm,N=12m(∑k=1m1k+∑k=m2m−11k−∑k=1N−m1k+∑k=2m+1m+N1k)S_{m,N} = \frac{1}{2m} \left( \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k} + \sum_{k=m}^{2m-1} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{N-m} \frac{1}{k} + \sum_{k=2m+1}^{m+N} \frac{1}{k} \right)
    Sm,N=12m(1m+∑k=12m1k−12m−∑k=1N−m1k+∑k=2m+1m+N1k)S_{m,N} = \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{m} + \sum_{k=1}^{2m} \frac{1}{k} - \frac{1}{2m} - \sum_{k=1}^{N-m} \frac{1}{k} + \sum_{k=2m+1}^{m+N} \frac{1}{k} \right)

    En simplifiant les sommes harmoniques, il reste un nombre fixe de termes lorsque N→+∞N \to +\infty :

    Sm,N=12m(12m+∑k=N−m+1m+N1k)S_{m,N} = \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{2m} + \sum_{k=N-m+1}^{m+N} \frac{1}{k} \right)

    Or, ∑k=N−m+1m+N1k\sum_{k=N-m+1}^{m+N} \frac{1}{k} contient 2m2m termes qui tendent tous vers 0 quand N→+∞N \to +\infty. Ainsi :

    ∑n=0,n≠m+∞1m2−n2=14m2\boxed{ \sum_{n=0, n \neq m}^{+\infty} \frac{1}{m^2-n^2} = \frac{1}{4m^2} }

  2. Calculons SmS_m selon les valeurs de mm : Si m=0m=0 :
    S0=∑n=1+∞102−n2=−∑n=1+∞1n2=−π26S_0 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{0^2 - n^2} = - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = -\frac{\pi^2}{6}
    Si m≥1m \ge 1 : d'après la question précédente, Sm=14m2S_m = \frac{1}{4m^2}. D'où :
    Sm={−π26si m=014m2si m≥1\boxed{ S_m = \begin{cases} -\frac{\pi^2}{6} & \text{si } m = 0
    \frac{1}{4m^2} & \text{si } m \ge 1 \end{cases} }

  3. Calcul de AA :
    A=∑m=0+∞Sm=S0+∑m=1+∞14m2=−π26+14×π26A = \sum_{m=0}^{+\infty} S_m = S_0 + \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{4m^2} = -\frac{\pi^2}{6} + \frac{1}{4} \times \frac{\pi^2}{6}
    A=−π28\boxed{ A = -\frac{\pi^2}{8} }

    Calcul de BB : On remarque que pour tout (m,n)(m,n), un,m=−um,nu_{n,m} = -u_{m,n}. Par symétrie des rôles de mm et nn, en posant Tn=∑m=0+∞um,nT_n = \sum_{m=0}^{+\infty} u_{m,n}, on a Tn=−SnT_n = -S_n. D'où :

    B=∑n=0+∞Tn=−∑n=0+∞Sn=−AB = \sum_{n=0}^{+\infty} T_n = - \sum_{n=0}^{+\infty} S_n = -A
    B=π28\boxed{ B = \frac{\pi^2}{8} }

  4. Si la famille (um,n)(u_{m,n}) était sommable, alors d'après le théorème de Fubini, les deux sommes itérées seraient égales : A=BA = B. Or, on a trouvé A=−π28A = -\frac{\pi^2}{8} et B=π28B = \frac{\pi^2}{8}. Comme A≠BA \neq B, on en conclut que : La famille (um,n)(m,n)∈N2(u_{m,n)_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} n'est pas sommable.}

Intervertir les sommes sans vérifier la sommabilité.

L'interversion des sommes itérées nécessite la sommabilité de la famille.