Sommation rectangulaire et triangulaire

Soit $u = (u_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}$ une famille de nombres complexes. On suppose que cette famille vérifie les hypothèses du théorème d'interversion des sommations (famille sommable).

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $w_n = \sum_{p+q=n} u_{p,q}$ . L'objectif est d'établir l'égalité :

\sum_{p=0}^{+\infty} \left( \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q} \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} w_n

On admet que la limite des sommes sur des carrés d'indices existe et vaut la somme de la famille :

\lim_{n \to +\infty} \sum_{p=0}^n \sum_{q=0}^n u_{p,q} = \sum_{p=0}^{+\infty} \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q}

Démontrer le résultat dans le cas où tous les termes $u_{p,q}$ sont des réels positifs ou nuls.
Étendre la démonstration au cas où $u_{p,q}$ sont des nombres complexes, en utilisant la convergence absolue de la série double.

1.

Pour la question 1, introduire les ensembles d'indices $D_n = \{ (p,q) \in \mathbb{N}^2 \mid p+q \le n \}$ et $K_n = \llbracket 0, n \rrbracket^2$ . Établir une double inclusion entre ces ensembles pour encadrer les sommes partielles.

2.

Pour la question 2, considérer la différence entre la somme sur un carré et la somme sur un triangle, puis majorer le module de cette différence par une somme de modules.

Idées clés

•

Comparaison de domaines d'indices (Inclusion $D_n \subset K_n \subset D_{2n}$ ).

•

Utilisation de la croissance des sommes partielles pour les termes positifs.

•

Inégalité triangulaire pour passer de la sommabilité (convergence absolue) à la convergence simple.

Résolution.

Cas des termes positifs. Soit $(u_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}$ $(u_{p, q})_{(p, q) \in N^{2}}$ une suite à termes dans $\mathbb{R}_+$ $R_{+}$ . On définit les sommes partielles suivantes :
$S_n = \sum_{(p,q) \in K_n} u_{p,q} = \sum_{p=0}^n \sum_{q=0}^n u_{p,q}$

$W_n = \sum_{k=0}^n w_k = \sum_{k=0}^n \sum_{p+q=k} u_{p,q} = \sum_{(p,q) \in D_n} u_{p,q}$
où $K_n = \{ (p,q) \in \mathbb{N}^2 \mid 0 \le p \le n, 0 \le q \le n \}$ $K_{n} = {(p, q) \in N^{2} ∣ 0 \leq p \leq n, 0 \leq q \leq n}$ et $D_n = \{ (p,q) \in \mathbb{N}^2 \mid p+q \le n \}$ $D_{n} = {(p, q) \in N^{2} ∣ p + q \leq n}$ .
Observons les inclusions de ces ensembles d'indices :
- Si $(p,q) \in D_n$ , alors $p \le p+q \le n$ et $q \le p+q \le n$ , donc $(p,q) \in K_n$ .
- Si $(p,q) \in K_n$ , alors $p+q \le n+n = 2n$ , donc $(p,q) \in D_{2n}$ .
On en déduit la chaîne d'inclusions : $D_n \subset K_n \subset D_{2n}$ . Comme les termes $u_{p,q}$ sont positifs, les sommes sur ces ensembles sont croissantes par rapport à l'inclusion :
$\boxed{ W_n \le S_n \le W_{2n} }$
Par hypothèse, $\lim_{n \to +\infty} S_n = S = \sum_{p=0}^{+\infty} \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q}$ $lim_{n \to + \infty} S_{n} = S = \sum_{p = 0}^{+ \infty} \sum_{q = 0}^{+ \infty} u_{p, q}$ . La suite $(W_n)$ $(W_{n})$ est croissante car $u_{p,q} \ge 0$ $u_{p, q} \geq 0$ . D'après l'inégalité $W_n \le S_n \le S$ $W_{n} \leq S_{n} \leq S$ , elle est majorée, donc elle converge vers une limite $L$ $L$ . En passant à la limite dans l'encadrement $W_n \le S_n \le W_{2n}$ $W_{n} \leq S_{n} \leq W_{2 n}$ , on obtient par le théorème des gendarmes :
$L \le S \le L \implies \boxed{ L = S }$
Cas des termes complexes. On suppose maintenant $u_{p,q} \in \mathbb{C}$ et la famille sommable, ce qui implique que $\sum |u_{p,q}|$ converge. Posons $u'_{p,q} = |u_{p,q}|$ . D'après la question précédente appliquée à $u'$ , si on note $S'_n$ et $W'_n$ les sommes associées à $|u_{p,q}|$ , on a : $\lim_{n \to +\infty} (S'_n - W'_n) = 0$ Considérons la différence pour les termes complexes : $|S_n - W_n| = \left| \sum_{(p,q) \in K_n} u_{p,q} - \sum_{(p,q) \in D_n} u_{p,q} \right|$ Comme $D_n \subset K_n$ , la différence porte sur les indices de $K_n \setminus D_n$ : $|S_n - W_n| = \left| \sum_{(p,q) \in K_n \setminus D_n} u_{p,q} \right|$ Par l'inégalité triangulaire : $|S_n - W_n| \le \sum_{(p,q) \in K_n \setminus D_n} |u_{p,q}| = S'_n - W'_n$ Comme nous avons montré que $S'_n - W'_n \to 0$ , il vient : $\boxed{ \lim_{n \to +\infty} (S_n - W_n) = 0 }$ Puisque $\lim_{n \to +\infty} S_n = S$ , on en conclut que $\lim_{n \to +\infty} W_n = S$ , ce qui achève la démonstration : $\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sum_{p+q=n} u_{p,q} \right) = \sum_{p=0}^{+\infty} \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q} }$

Vérifier la sommabilité avant de changer le mode de regroupement des termes.

Utiliser l'inclusion de domaines d'indices pour comparer des limites de sommes doubles.