Sommation d'une suite double et partie entière

On considère la famille de réels $a_{i, j}$ définie pour $(i, j) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ par :

a_{i, j} = \frac{1}{(i+j^2)(i+j^2+1)}

On rappelle que

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

.

Justifier que la famille $(a_{i, j})_{(i, j) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et calculer sa somme $S$ .
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ $n \in N^{*}$ , on note $F_n = \{ (i, j) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^* \mid i + j^2 = n \}$ $F_{n} = {(i, j) \in N \times N^{*} ∣ i + j^{2} = n}$ .
1. Déterminer le cardinal de l'ensemble $F_n$ en fonction de $n$ .
2. En déduire la valeur de la somme de la série suivante : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n(n+1)}$

1.

Pour la sommabilité, utiliser le théorème de sommation par paquets ou le théorème de Fubini pour les familles à termes positifs en sommant d'abord sur l'indice $i$ .

2.

Remarquer que $a_{i, j}$ est le terme général d'une suite télescopique selon l'indice $i$ .

3.

Pour le cardinal de $F_n$ , fixer $j$ et voir quelles valeurs il peut prendre pour que $i = n - j^2$ appartienne à $\mathbb{N}$ .

4.

Utiliser le résultat de la sommation par paquets selon les niveaux $i+j^2=n$ .

Idées clés

•

Théorème de Fubini pour les familles à termes positifs.

•

Décomposition en éléments simples : $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ .

•

Sommation par tranches (ou par paquets) pour relier une suite double à une série simple.

Résolution.

Étudions la sommabilité de la famille de réels positifs $(a_{i, j})$ . D'après le théorème de Fubini pour les familles à termes positifs, il suffit de vérifier la convergence des sommes itérées.
Fixons $j \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse à la somme $\sum_{i=0}^{+\infty} a_{i, j}$ . Par décomposition en éléments simples, on a :
$a_{i, j} = \frac{1}{i+j^2} - \frac{1}{i+j^2+1}$
Il s'agit d'une série télescopique. Pour tout $N \in \mathbb{N}$ :
$\sum_{i=0}^{N} \left( \frac{1}{i+j^2} - \frac{1}{i+j^2+1} \right) = \frac{1}{j^2} - \frac{1}{N+j^2+1}$
En faisant tendre $N$ vers $+\infty$ , on obtient la convergence de la série et :
$\sum_{i=0}^{+\infty} a_{i, j} = \frac{1}{j^2}$
Maintenant, sommons ces résultats sur $j \in \mathbb{N}^*$ . La série $\sum_{j \ge 1} \frac{1}{j^2}$ est une série de Riemann convergente de somme $\frac{\pi^2}{6}$ . La famille est donc sommable, et sa somme $S$ vaut :
$\boxed{S = \frac{\pi^2}{6}}$
1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On cherche le nombre de couples $(i, j) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ tels que $i + j^2 = n$ . Cette équation équivaut à $i = n - j^2$ . Pour que $i$ soit un entier naturel, il est nécessaire et suffisant que $n - j^2 \ge 0$ , soit $j^2 \le n$ . Comme $j$ doit être un entier strictement positif, on a la condition : $1 \le j \le \sqrt{n}$
  Le nombre d'entiers $j$ satisfaisant cette condition est exactement la partie entière de $\sqrt{n}$ . Chaque valeur de $j$ détermine de manière unique la valeur de $i$ . Par conséquent :
  $\boxed{\text{Card}(F_n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor}$
2. Puisque la famille $(a_{i, j})$ est sommable, on peut calculer sa somme en regroupant les termes par paquets selon les ensembles $F_n$ . Les ensembles $(F_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ forment une partition de l'ensemble d'indices $\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ . On a donc : $S = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \sum_{(i,j) \in F_n} a_{i, j} \right)$
  Pour un $n$ fixé, si $(i, j) \in F_n$ , alors $i+j^2 = n$ . On en déduit :
  $a_{i, j} = \frac{1}{n(n+1)}$
  La somme sur $F_n$ devient :
  $\sum_{(i,j) \in F_n} a_{i, j} = \text{Card}(F_n) \times \frac{1}{n(n+1)} = \frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n(n+1)}$
  En utilisant la valeur de $S$ trouvée à la question 1, on conclut :
  $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n(n+1)} = \frac{\pi^2}{6}}$

Oubli de la justification de la sommabilité avant le calcul de la somme.

La sommation par tranches permet de transformer une somme double en une série simple faisant intervenir des cardinaux (ici une partie entière).