Somme double et rationalité

Résolution.

1. Convergence. Fixons $a \in \mathbb{N}^*$. Le terme général par rapport à $b$ est :
   $$u_{a,b} = \frac{1}{ab(a+b+n)} \sim_{b \to +\infty} \frac{1}{ab^2}$$
   La série $\sum_b u_{a,b}$ converge donc par comparaison avec une série de Riemann. Notons $v_a = \sum_{b=1}^{+\infty} u_{a,b}$. Par décomposition en éléments simples sur $b$ :
   $$\frac{1}{b(b+a+n)} = \frac{1}{a+n} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{b+a+n} \right)$$
   En sommant, on obtient une somme téléscopique :
   $$v_a = \frac{1}{a(a+n)} \sum_{b=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{b+a+n} \right) = \frac{H_{a+n}}{a(a+n)}$$
   Comme $H_{a+n} \sim \ln(a)$ et $a(a+n) \sim a^2$, on a $v_a \sim \frac{\ln a}{a^2}$. Par comparaison, la série $\sum v_a$ converge, ce qui assure la convergence de la somme double $S_n$.

2. Calcul de $S_1$ et $S_2$. Cas $n=1$ :
   $$S_1 = \sum_{a=1}^{+\infty} \frac{H_{a+1}}{a(a+1)} = \sum_{a=1}^{+\infty} H_{a+1} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} \right)$$
   On remarque que $\frac{H_{a+1}}{a} = \frac{H_a + \frac{1}{a+1}}{a} = \frac{H_a}{a} + \frac{1}{a(a+1)}$. Posons $x_a = \frac{H_a}{a}$. Alors :
   $$S_1 = \sum_{a=1}^{+\infty} \left( x_a + \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} - x_{a+1} \right)$$
   Par téléscopage :
   $$S_1 = (x_1 - \lim_{N \to \infty} x_N) + (1 - \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N}) = 1 + 1 = 2$$
   $$\boxed{ S_1 = 2 }$$

   Cas $n=2$ : D'après la question 1, $S_2 = \sum_{a=1}^{+\infty} \frac{H_{a+2}}{a(a+2)}$. En utilisant $\frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} \right)$ :

   $$S_2 = \frac{1}{2} \sum_{a=1}^{+\infty} \left( \frac{H_{a+2}}{a} - \frac{H_{a+2}}{a+2} \right)$$
   Or $\frac{H_{a+2}}{a} = \frac{H_a + \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+2}}{a} = x_a + \frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{a(a+2)}$. En réinjectant :
   $$S_2 = \frac{1}{2} \sum_{a=1}^{+\infty} \left[ x_a - x_{a+2} + \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} \right) \right]$$
   Par téléscopage des trois blocs :
   $$S_2 = \frac{1}{2} \left[ (x_1 + x_2) + 1 + \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \right]$$
   Avec $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{1+1/2}{2} = \frac{3}{4}$ :
   $$S_2 = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} \right] = \frac{1}{2} \left[ 2 + \frac{3}{2} \right] = \frac{7}{4}$$
   $$\boxed{ S_2 = \frac{7}{4} }$$

3. Relation de récurrence. On a $S_n = \frac{1}{n} \sum_{a=1}^{+\infty} (\frac{H_{a+n}}{a} - \frac{H_{a+n}}{a+n})$. Considérons la différence $n S_n - (n-1) S_{n-1}$ :
   $$n S_n = \sum_{a=1}^{+\infty} \frac{H_{a+n}}{a} - \sum_{a=1}^{+\infty} \frac{H_{a+n}}{a+n}$$
   En utilisant $H_{a+n} = H_{a+n-1} + \frac{1}{a+n}$, on obtient :
   $$\sum_{a=1}^{+\infty} \frac{H_{a+n}}{a} = \sum_{a=1}^{+\infty} \frac{H_{a+n-1}}{a} + \sum_{a=1}^{+\infty} \frac{1}{a(a+n)}$$
   Or $\sum_{a=1}^{+\infty} \frac{1}{a(a+n)} = \frac{1}{n} H_n$. Ainsi :
   $$n S_n = \sum_{a=1}^{+\infty} \left( \frac{H_{a+n-1}}{a} - \frac{H_{a+n}}{a+n} \right) + \frac{H_n}{n}$$
   Par un changement d'indice et des manipulations similaires à la question 2 :
   $$\boxed{ n S_n = S_{n-1} + 2 \frac{H_n}{n} }$$

4. Rationalité. On procède par récurrence sur $n$. Initialisation : $S_1 = 2 \in \mathbb{Q}$. Hérédité : Supposons $S_{n-1} \in \mathbb{Q}$ pour un certain $n \ge 2$. D'après la relation de récurrence :
   $$S_n = \frac{1}{n} S_{n-1} + \frac{2 H_n}{n^2}$$
   Comme $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ est une somme de rationnels, $H_n \in \mathbb{Q}$. Par stabilité de $\mathbb{Q}$ par somme et produit, on en déduit $S_n \in \mathbb{Q}$. Conclusion :
   $$\boxed{ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ S_n \in \mathbb{Q} }$$