Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Domaine de définition et périodicité. Pour que chaque terme $\frac{1}{(n+x)^2}$ soit défini, il faut que $x+n \neq 0$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$, soit $x \notin \mathbb{Z}$. Pour $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, le terme général $u_n(x) = \frac{1}{(n+x)^2}$ est équivalent à $\frac{1}{n^2}$ quand $|n| \to \infty$. D'après le critère de comparaison aux séries de Riemann, la série converge (absolument).
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}}$$
   Vérifions la périodicité. Soit $x \in \mathcal{D}_f$. On a $x+1 \in \mathcal{D}_f$ et :
   $$f(x+1) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(n+x+1)^{2}}$$
   En effectuant le changement d'indice $k = n+1$, lorsque $n$ parcourt $\mathbb{Z}$, $k$ parcourt également $\mathbb{Z}$. Ainsi :
   $$f(x+1) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(k+x)^{2}} = f(x)$$
2. Continuité de $f$. Soit $K$ un segment inclus dans $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$. Il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $x \in K$ et tout $n \in \mathbb{Z}$, $|x+n| \geq \varepsilon$. De plus, pour $|n|$ assez grand (disons $|n| > A$), on a $|x+n| \geq |n| - |x| \geq |n| - M$ où $M = \sup_{x \in K} |x|$. Alors $|u_n(x)| \leq \frac{1}{(|n|-M)^2}$ pour $|n|$ assez grand. Cette borne supérieure est le terme général d'une série numérique convergente, donc la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur tout segment $K \subset \mathcal{D}_f$. Comme chaque fonction $x \mapsto \frac{1}{(n+x)^2}$ est continue sur $\mathcal{D}_f$, la somme $f$ est continue sur $\mathcal{D}_f$.
   $$\boxed{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}, \mathbb{R})}$$

3. Preuve de l'identité fonctionnelle. Fixons $m \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathcal{D}_f$. On note $S$ la somme à étudier :
   $$S = \frac{1}{m^{2}} \sum_{p=0}^{m-1} f\left(\frac{x+p}{m}\right) = \frac{1}{m^{2}} \sum_{p=0}^{m-1} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(n + \frac{x+p}{m}\right)^2}$$
   En simplifiant l'expression dans le carré :
   $$S = \sum_{p=0}^{m-1} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{m^2 \left(\frac{nm+p+x}{m}\right)^2} = \sum_{p=0}^{m-1} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(nm+p+x)^2}$$
   Comme la série est à termes positifs, on peut intervertir les sommes (ou invoquer la convergence absolue pour réorganiser les termes). L'application $\phi : \mathbb{Z} \times \{0, \dots, m-1\} \to \mathbb{Z}$ définie par $(n, p) \mapsto nm+p$ est une bijection (elle correspond à la division euclidienne d'un entier par $m$, où $n$ est le quotient et $p$ le reste). Par conséquent, lorsque $p$ varie de $0$ à $m-1$ et $n$ parcourt $\mathbb{Z}$, la valeur $k = nm+p$ parcourt exactement une fois l'ensemble $\mathbb{Z}$. On en déduit :
   $$S = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(k+x)^2}$$
   On retrouve bien la définition de $f(x)$.
   $$\boxed{\frac{1}{m^{2}} \sum_{p=0}^{m-1} f\left(\frac{x+p}{m}\right) = f(x)}$$