Inexistence d'une norme invariante par similitude

Résolution.

1. Cas $n=2$ : Considérons la matrice élémentaire $A = E_{1,2} = \begin{pmatrix} 0 & 1$
   0 & 0 \end{pmatrix}. Cette matrice est non nulle, donc par définition d'une norme :
   $$\boxed{N(A) > 0}$$

   Soit $\lambda \in \mathbb{C}^*$ un scalaire non nul. Introduisons la matrice de passage $P_\lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0$
   0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}. Cette matrice est clairement inversible car son déterminant est $\lambda^{-1} \neq 0$. Calculons le produit $P_\lambda A P_\lambda^{-1}$ :

   $$P_\lambda A P_\lambda^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0$$
   0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1
   0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0
   0 & \lambda \end{pmatrix}
   $$P_\lambda A P_\lambda^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1$$
   0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0
   0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \lambda
   0 & 0 \end{pmatrix} = \lambda A

   Par hypothèse, la norme $N$ est invariante par similitude, donc $N(P_\lambda A P_\lambda^{-1}) = N(A)$. En utilisant l'égalité précédente, nous obtenons :

   $$N(\lambda A) = N(A)$$

   D'après la propriété d'homogénéité de la norme, on en déduit :

   $$|\lambda| N(A) = N(A)$$

   Comme $N(A) \neq 0$, nous pouvons simplifier par $N(A)$, ce qui donne :

   $$\forall \lambda \in \mathbb{C}^*,   |\lambda| = 1$$

   Ceci est manifestement absurde (il suffit de choisir $\lambda = 2$). Ainsi, une telle norme ne peut exister pour $n=2$.

2. Cas général $n > 2$ : Le raisonnement précédent se généralise en utilisant des matrices par blocs. On définit la matrice $A'$ par :
   $$A' = \begin{pmatrix} E_{1,2} & 0$$
   0 & 0_{n-2} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

   De même, pour $\lambda \in \mathbb{C}^*$, on définit la matrice de passage par blocs :

   $$P'_\lambda = \begin{pmatrix} \text{diag}(1, \lambda^{-1}) & 0$$
   0 & I_{n-2} \end{pmatrix} \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})

   Le calcul par blocs montre immédiatement que :

   $$P'_\lambda A' (P'_\lambda)^{-1} = \begin{pmatrix} \text{diag}(1, \lambda^{-1}) E_{1,2} \text{diag}(1, \lambda) & 0$$
   0 & 0 \end{pmatrix} = \lambda A'

   En suivant le même raisonnement que dans le premier point, l'invariance par similitude impliquerait $|\lambda| N(A') = N(A')$. Comme $A' \neq 0$, on a $N(A') > 0$, ce qui impose $|\lambda| = 1$ pour tout $\lambda \in \mathbb{C}^*$, aboutissant à la même contradiction.

3. Conclusion : Il n'existe aucune norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ invariante par similitude.
   $$\boxed{\text{Il n'existe pas de norme } N \text{ telle que } N(P A P^{-1}) = N(A)}$$