Convergence et sommation des restes

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels positifs telle que la série $\sum a_n$ soit convergente.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on définit le reste d'ordre $n$ par :

r_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k

Montrer que pour tout entier $N \in \mathbb{N}^*$ , on a la relation suivante : $\sum_{n=1}^N n a_n = \sum_{n=0}^{N-1} r_n - N r_N$
En déduire que la série $\sum n a_n$ converge si et seulement si la série $\sum r_n$ converge.
Dans le cas où ces séries convergent, établir l'égalité : $\sum_{n=1}^{+\infty} n a_n = \sum_{n=0}^{+\infty} r_n$

1.

Pour la première question, exprimer $a_n$ en fonction des restes $r_{n-1}$ et $r_n$ , puis effectuer un glissement d'indice (ou sommation par parties).

2.

Pour le sens réciproque de l'équivalence, on pourra majorer $N r_N$ par le reste de la série $\sum n a_n$ .

Idées clés

•

Transformation de sommation par parties (analogue discret de l'intégration par parties).

•

Relation fondamentale entre terme général et reste : $a_n = r_{n-1} - r_n$ .

•

Majoration d'un reste par une queue de série.

Résolution.

Soit $N \in \mathbb{N}^*$ . On remarque que pour tout $n \geq 1$ , on a $r_{n-1} - r_n = a_n$ . On peut donc écrire la somme partielle sous la forme : $S_N = \sum_{n=1}^N n (r_{n-1} - r_n)$ En développant et en séparant la somme en deux, on obtient : $S_N = \sum_{n=1}^N n r_{n-1} - \sum_{n=1}^N n r_n$ Effectuons un changement d'indice $p = n-1$ dans la première somme : $S_N = \sum_{p=0}^{N-1} (p+1) r_p - \sum_{n=1}^N n r_n$ En isolant le terme pour $p=0$ et en regroupant les termes communs pour $n$ allant de $1$ à $N-1$ : $S_N = r_0 + \sum_{n=1}^{N-1} (n+1) r_n - \left( \sum_{n=1}^{N-1} n r_n + N r_N \right)$ On simplifie les termes de la somme : $S_N = r_0 + \sum_{n=1}^{N-1} (n+1-n) r_n - N r_N$ On obtient finalement l'égalité demandée : $\boxed{\sum_{n=1}^N n a_n = \sum_{n=0}^{N-1} r_n - N r_N}$
Étudions l'équivalence de convergence : Sens $(\Leftarrow)$ : Supposons que $\sum r_n$ converge. Comme la suite $(a_n)$ est à valeurs positives, les restes $r_n$ sont également positifs. Ainsi, $N r_N \geq 0$ pour tout $N$ . D'après la relation établie à la question 1, on a : $\sum_{n=1}^N n a_n \leq \sum_{n=0}^{N-1} r_n \leq \sum_{n=0}^{+\infty} r_n$ La suite des sommes partielles de la série $\sum n a_n$ est croissante (car $n a_n \geq 0$ ) et majorée. Elle converge donc. Sens $(\Rightarrow)$ : Supposons que $\sum n a_n$ converge. Montrons d'abord que $N r_N$ tend vers $0$ . Pour tout $N$ , on a : $N r_N = N \sum_{k=N+1}^{+\infty} a_k = \sum_{k=N+1}^{+\infty} N a_k$ Comme $k \geq N+1 > N$ , on peut majorer $N$ par $k$ dans la somme : $0 \leq N r_N \leq \sum_{k=N+1}^{+\infty} k a_k$ Le terme de droite est le reste d'ordre $N$ d'une série convergente ( $\sum n a_n$ ), il tend donc vers $0$ quand $N \to +\infty$ . Par encadrement : $\boxed{\lim_{N \to +\infty} N r_N = 0}$ En reprenant l'égalité de la question 1 : $\sum_{n=0}^{N-1} r_n = \sum_{n=1}^N n a_n + N r_N$ Le membre de droite possède une limite finie quand $N \to +\infty$ . Par conséquent, la suite des sommes partielles de la série $\sum r_n$ converge.
Si les séries convergent, nous venons de voir que $N r_N \to 0$ . En passant à la limite dans l'égalité de la question 1, on obtient directement : $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} n a_n = \sum_{n=0}^{+\infty} r_n}$

Oublier de démontrer que N*r_N tend vers 0.

Identité entre la somme de n*a_n et la somme des restes.