Sommes de Dobinski et moments de la série exponentielle

Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , on considère la série de terme général $u_n = \frac{n^p}{n!}$ et on note $S_p$ sa somme sous réserve de convergence.

Justifier la convergence et déterminer la somme de la série $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^3-4n+2}{n!}$ .
Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$ , la série de terme général $\frac{n^p}{n!}$ converge.
Établir une relation de récurrence permettant d'exprimer $S_p$ en fonction des termes $(S_k)_{0 \le k \le p-1}$ .
En déduire, à l'aide d'un algorithme ou par le calcul, les valeurs exactes de $S_{15}$ et $S_{20}$ en fonction de $e$ .

1.

Pour la question 1, décomposer le polynôme $P(n) = n^3 - 4n + 2$ dans la base des polynômes factoriels $[1, n, n(n-1), n(n-1)(n-2)]$ .

2.

Pour la récurrence, on pourra simplifier le terme $\frac{n^p}{n!}$ en $\frac{n^{p-1}}{(n-1)!}$ pour $n \ge 1$ , puis effectuer un décalage d'indice et utiliser la formule du binôme de Newton.

Idées clés

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Décomposition en base de factorielles descendantes : $n^k = \sum a_j n(n-1)\dots(n-j+1)$ .

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Somme de la série exponentielle : $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e$ .

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Décalage d'indice pour simplifier les factorielles.

Résolution.

Étude de la première série. Soit $v_n = \frac{n^3-4n+2}{n!}$ . Par croissance comparée, $n^2 v_n \to 0$ , donc la série converge absolument. Pour calculer sa somme, on cherche à exprimer le numérateur à l'aide des factorielles descendantes : $n(n-1)(n-2) = n^3 - 3n^2 + 2n$ . $3n(n-1) = 3n^2 - 3n$ . En sommant ces deux termes, on obtient $n^3 - n$ . Ainsi, $n^3 - 4n + 2 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) - 3n + 2$ . En divisant par $n!$ , on obtient pour $n \ge 3$ : $\frac{n^3-4n+2}{n!} = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} - \frac{3}{(n-1)!} + \frac{2}{n!}$ Par linéarité de la somme (car chaque série converge) : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^3-4n+2}{n!} = \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n-2)!} - 3\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)!} + 2\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$ Chaque somme vaut $e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$ . On obtient donc : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^3-4n+2}{n!} = e + 3e - 3e + 2e$ $\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^3-4n+2}{n!} = 3e}$
Convergence de $S_p$ . Pour $p$ fixé, soit $u_n = \frac{n^p}{n!}$ . Comme $u_n > 0$ pour $n \ge 1$ , on applique la règle de d'Alembert : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^p}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^p} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^p \cdot \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ Comme la limite est strictement inférieure à 1, la série $\sum u_n$ converge.
Formule de récurrence. Pour $p \ge 1$ , le terme pour $n=0$ est nul. On a donc : $S_p = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^p}{n!} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{p-1}}{(n-1)!}$ Effectuons le changement d'indice $k = n-1$ : $S_p = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(k+1)^{p-1}}{k!}$ On développe $(k+1)^{p-1}$ par la formule du binôme : $S_p = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{p-1} \binom{p-1}{j} k^j$ Comme il s'agit de sommes finies de séries convergentes, on peut intervertir les symboles $\sum$ : $S_p = \sum_{j=0}^{p-1} \binom{p-1}{j} \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^j}{k!} \right)$ On reconnaît l'expression de $S_j$ dans la parenthèse, d'où : $\boxed{S_p = \sum_{j=0}^{p-1} \binom{p-1}{j} S_j}$
Applications numériques. En utilisant la relation $S_0 = e$ et la formule de récurrence (calculable par programmation dynamique ou un simple script), on obtient : $\boxed{S_{15} = 1 382 958 545 e}$ $\boxed{S_{20} = 51 724 158 235 372 e}$

Indétermination de 0^0 et attention aux premiers termes de la somme.

Utiliser les factorielles descendantes pour simplifier les termes en n! au dénominateur.