Série de la fonction zêta pondérée

Pour tout entier $n \geqslant 2$ , on considère la somme $s_{n}$ définie par :

s_{n} = \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{p^{n}}

On se propose d'étudier la nature de la série de terme général $u_n = \frac{s_n}{n^\alpha}$ en fonction du paramètre réel $\alpha$ .

Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$ , la convergence de la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \frac{s_{n}}{n^{\alpha}}$ .

1.

Isoler le premier terme de la somme $s_n$ en écrivant $s_n = 1 + v_n$ .

2.

Montrer que le reste $v_n = \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{p^n}$ définit le terme général d'une série convergente pour toute valeur de $\alpha$ en utilisant une majoration géométrique ou une comparaison de rapports.

3.

Conclure en utilisant le théorème de comparaison des séries à termes positifs avec une série de Riemann.

Idées clés

•

Décomposition du terme général pour isoler la partie prépondérante.

•

Comparaison avec une série géométrique pour le terme de reste.

•

Utilisation du critère de Riemann.

Résolution.

Pour tout $n \geqslant 2$ , nous pouvons décomposer la somme $s_n$ en isolant son premier terme :

s_n = 1 + \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{p^n}

Posons alors $v_n = \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{p^n}$ . Le terme général de notre série s'écrit :

u_n = \frac{1}{n^\alpha} + \frac{v_n}{n^\alpha}

1. Étude du terme de reste $v_n$

Remarquons que pour tout $p \geqslant 2$ , on a l'inégalité $\frac{1}{p^{n+1}} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p^n} \leqslant \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p^n}$ . En sommant cette inégalité pour $p$ allant de 2 à $+\infty$ , on obtient :

\sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{p^{n+1}} \leqslant \frac{1}{2} \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{p^n}

Ce qui se traduit par la relation :

0 < v_{n+1} \leqslant \frac{1}{2} v_n

Par récurrence immédiate, on en déduit que pour tout $n \geqslant 2$ :

0 < v_n \leqslant v_2 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-2}

2. Convergence de la série de terme général $w_n = \frac{v_n$ {n^\alpha} $w_{n} = \frac{v _{n}}{n ^{α}}$ }

D'après la majoration précédente, nous avons :

0 < \frac{v_n}{n^\alpha} \leqslant \frac{v_2 \cdot 2^2}{n^\alpha \cdot 2^n}

Comme $n^\alpha 2^n$ croît très rapidement, nous avons par croissance comparée :

\frac{v_n}{n^\alpha} = o\left( \frac{1}{n^2} \right)

Par conséquent, la série $\sum \frac{v_n}{n^\alpha}$ converge absolument (et donc converge) pour toute valeur de $\alpha \in \mathbb{R}$ .

\boxed{ \text{La série } \sum_{n \geqslant 2} \frac{v_n}{n^\alpha} \text{ est toujours convergente.} }

3. Conclusion sur la nature de la série $\sum u_n$

Le terme général $u_n$ est la somme de deux termes positifs :

u_n = \frac{1}{n^\alpha} + w_n

Comme $\sum w_n$ converge toujours, la série $\sum u_n$ est de même nature que la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ . On sait que la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

En conclusion :

\boxed{ \sum_{n \geqslant 2} \frac{s_n}{n^\alpha} \text{ converge si et seulement si } \alpha > 1. }

Oublier d'isoler le premier terme (p=1) qui impose la condition de convergence.

Décomposition $s_n = 1 + o(1)$ pour obtenir la nature de la série via Riemann.