Série liée au nombre de chiffres

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on note $p_{n}$ le nombre de chiffres de $n$ dans sa représentation en base 10.

On s'intéresse à la série de terme général :

u_{n} = n^{-p_{n}^{\alpha}}

où

\alpha

est un paramètre réel.

Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$ , la nature de la série $\sum u_n$ .

1.

Commencer par exprimer $p_n$ à l'aide du logarithme décimal. En déduire un équivalent simple de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

2.

Exprimer le terme général sous forme exponentielle : $u_n = \exp\left( -p_n^\alpha \ln n \right)$ .

3.

Distinguer les cas selon le signe de $\alpha$ . Pour $\alpha > 0$ , comparer $u_n$ à un terme de série de Riemann. Pour $\alpha \leq 0$ , analyser soigneusement la limite du terme général ou sa vitesse de décroissance par rapport à $1/n$ .

Idées clés

•

Encadrement du nombre de chiffres par le logarithme.

•

Comparaison aux séries de Riemann.

•

Étude de la limite du terme général (divergence grossière).

Étape 1 : Lien entre $p_n$ et $\log_{10$ n $lo g_{10} n$ .}

Par définition du nombre de chiffres en base 10, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a l'encadrement suivant :

10^{p_n-1} \leq n < 10^{p_n}

En appliquant la fonction $\log_{10}$ (croissante sur $\mathbb{R}_+^*$ ), il vient :

p_n - 1 \leq \log_{10}(n) < p_n

On en déduit que $p_n = \lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1$ . En particulier :

\boxed{ p_n \sim \frac{\ln n}{\ln 10} }

Étape 2 : Étude du cas $\alpha > 0$ .

Si $\alpha > 0$ , alors $\lim_{n \to +\infty} p_n = +\infty$ , donc $\lim_{n \to +\infty} p_n^\alpha = +\infty$ .

Il existe donc un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ , on ait $p_n^\alpha \geq 2$ . Pour de tels indices :

0 < u_n = n^{-p_n^\alpha} \leq \frac{1}{n^2}

Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par théorème de comparaison pour les séries à termes positifs :

\boxed{ \text{La série converge pour } \alpha > 0 }

Étape 3 : Étude du cas $\alpha = 0$ .

Si $\alpha = 0$ , alors pour tout $n$ , $p_n^0 = 1$ . Le terme général est alors :

u_n = \frac{1}{n}

Il s'agit du terme général de la série harmonique, qui diverge.

Étape 4 : Étude du cas $\alpha < 0$ .

On pose $\beta = -\alpha > 0$ . On a $p_n^\alpha = \frac{1}{p_n^\beta}$ . Le terme général s'écrit :

u_n = \exp\left( - \frac{\ln n}{p_n^\beta} \right)

D'après l'équivalent trouvé précédemment, on a :

\frac{\ln n}{p_n^\beta} \sim \frac{\ln n}{\left( \frac{\ln n}{\ln 10} \right)^\beta} = (\ln 10)^\beta \cdot (\ln n)^{1-\beta}

Sous-cas $\beta > 1$ (soit $\alpha < -1$ ) : On a $1-\beta < 0$ , donc $(\ln n)^{1-\beta} \to 0$ . Ainsi, $u_n \to e^0 = 1$ . La série diverge grossièrement.
Sous-cas $\beta = 1$ (soit $\alpha = -1$ ) : On a $\frac{\ln n}{p_n} \to \ln 10$ . Ainsi, $u_n \to e^{-\ln 10} = \frac{1}{10}$ . La série diverge grossièrement.
Sous-cas $0 < \beta < 1$ (soit $-1 < \alpha < 0$ ) : On a $1-\beta > 0$ , donc $\frac{\ln n}{p_n^\beta} \to +\infty$ . Ainsi, $u_n \to 0$ . Cependant, pour $n$ assez grand : $\frac{\ln n}{p_n^\beta} \leq \ln n$ ce qui implique $u_n \geq \frac{1}{n}$ . Par comparaison à la série harmonique, la série diverge.

Conclusion :

\boxed{ \text{La série converge si et seulement si } \alpha > 0 }

Ne pas oublier que pour -1 < alpha < 0, le terme général tend vers 0 mais la série diverge.

L'encadrement standard du nombre de chiffres p_n : 10^{p_n-1} <= n < 10^{p_n}.