Nature de séries liées à une suite positive

Résolution.

1. Étudions la nature de $\sum b_n$ par rapport à celle de $\sum a_n$. Sens direct : Supposons que $\sum a_n$ converge. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $a_n > 0$, donc $1 + a_n > 1$. On en déduit :
   $$0 < b_n = \frac{a_n}{1+a_n} < a_n$$
   D'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la convergence de $\sum a_n$ implique celle de $\sum b_n$. Sens réciproque : Supposons que $\sum b_n$ converge. Le terme général d'une série convergente tend vers 0, donc :
   $$\lim_{n \to +\infty} b_n = 0$$
   On peut exprimer $a_n$ en fonction de $b_n$. L'égalité $b_n = \frac{a_n}{1+a_n}$ équivaut à $b_n + a_n b_n = a_n$, soit :
   $$a_n = \frac{b_n}{1-b_n}$$
   Puisque $\lim_{n \to +\infty} b_n = 0$, on a l'équivalent suivant :
   $$a_n \sim b_n$$
   Comme il s'agit de séries à termes positifs, par théorème de comparaison des équivalents, la convergence de $\sum b_n$ entraîne celle de $\sum a_n$. On conclut que :
   $$\boxed{\sum a_n \text{ et } \sum b_n \text{ sont de même nature.}}$$

2. Étudions la nature de la série $\sum c_n$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On a $a_n > 0$, donc le dénominateur $1 + n^2 a_n$ est strictement supérieur à $n^2 a_n$. On peut alors écrire la majoration suivante :
   $$c_n = \frac{a_n}{1 + n^2 a_n} < \frac{a_n}{n^2 a_n}$$
   En simplifiant par $a_n$ (qui est non nul), on obtient :
   $$\forall n \in \mathbb{N}^*,   0 < c_n < \frac{1}{n^2}$$
   On reconnaît le terme général d'une série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ qui est convergente (car $2 > 1$). Par théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum c_n$ converge.
   $$\boxed{\text{La série } \sum c_n \text{ converge quelle que soit la suite } (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ positive.}}$$