Limites uniformes et continuité uniforme

Soit $A$ une partie non vide d'un espace vectoriel normé (ou plus simplement $A \subset \mathbb{R}$ ).

On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $A$ dans $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On suppose que :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $f_n$ est uniformément continue sur $A$ .
La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément sur $A$ vers une fonction $f$ .

Démontrer que la fonction limite $f$ est uniformément continue sur $A$ .

1.

Revenir à la définition avec les quantificateurs ( $\varepsilon, \delta$ ).

2.

Utiliser une technique de "découpage en trois" ( $\varepsilon/3$ ) en introduisant une fonction $f_N$ de la suite.

3.

Exploiter le fait que la convergence est uniforme pour fixer un indice $N$ indépendant de $x$ et $y$ .

Idées clés

•

Technique de la double limite (ou $\varepsilon/3$ ).

•

Utilisation de l'inégalité triangulaire pour lier $f$ à $f_n$ .

•

Exploitation de l'uniformité du contrôle de l'erreur.

Résolution.

Soit $\varepsilon > 0$ fixé.

D'après l'hypothèse de convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$ sur $A$ , il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que :

\forall n \geq N,   \sup_{x \in A} |f(x) - f_n(x)| \leq \frac{\varepsilon}{3}

En particulier, pour ce rang $N$ fixé, on a :

\forall x \in A,   |f(x) - f_N(x)| \leq \frac{\varepsilon}{3}

Par ailleurs, la fonction $f_N$ est supposée uniformément continue sur $A$ . Par définition, il existe donc un réel $\delta > 0$ tel que :

\forall (x, y) \in A^2,   \|x - y\| < \delta \implies |f_N(x) - f_N(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3}

Considérons maintenant deux points quelconques $(x, y) \in A^2$ tels que $\|x - y\| < \delta$ . En utilisant l'inégalité triangulaire, nous pouvons écrire :

|f(x) - f(y)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(y)| + |f_N(y) - f(y)|

En utilisant les deux majorations précédentes, on obtient :

|f(x) - f(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3}

D'où le résultat final pour tout $(x, y) \in A^2$ tels que $\|x - y\| < \delta$ :

\boxed{|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon}

Comme $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$ (et de l'indice $N$ qui lui-même ne dépend que de $\varepsilon$ ), nous avons prouvé que :

\boxed{f \text{ est uniformément continue sur } A}

Confondre convergence simple et convergence uniforme.

La convergence uniforme conserve la continuité uniforme.