Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour $n \geq 1$, le terme général $u_n(x) = \frac{2x}{n^2+x^2}$ est bien défini. Si $x=0$, $u_n(0) = 0$ pour tout $n$, donc la série converge et $f(0)=0$. Si $x \neq 0$, on a l'équivalent :
   $$|u_n(x)| \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2}$$
   Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente, la série converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   $$\boxed{D_f = \mathbb{R}}$$

2. Convergence uniforme. Sur un segment $[-A, A]$ ($A > 0$): Pour tout $x \in [-A, A]$, on a $|u_n(x)| \leq \frac{2A}{n^2}$. La série $\sum \frac{2A}{n^2}$ est convergente et indépendante de $x$. La série converge donc normalement, et donc uniformément, sur tout segment de $\mathbb{R}$.

   Sur $\mathbb{R$ entier :} Étudions le reste d'ordre $N$ : $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2x}{n^2+x^2}$. Pour $x=N$, on a :

   $$R_N(N) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2N}{n^2+N^2}$$
   Par comparaison avec une intégrale, la fonction $t \mapsto \frac{2N}{t^2+N^2}$ étant décroissante sur $[N, +\infty[$ :
   $$R_N(N) \geq \int_{N+1}^{+\infty} \frac{2N}{t^2+N^2}   dt = \left[ 2 \arctan\left(\frac{t}{N}\right) \right]_{N+1}^{+\infty} = \pi - 2 \arctan\left(1 + \frac{1}{N}\right)$$
   En passant à la limite quand $N \to +\infty$ :
   $$\lim_{N \to +\infty} R_N(N) \geq \pi - 2 \arctan(1) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$$
   Le reste ne converge pas uniformément vers $0$ sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{\text{Il n'y a pas convergence uniforme sur } \mathbb{R}.}$$

3. Continuité. Chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$. Comme la série converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$, la somme $f$ est continue sur chaque segment, donc sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$$

4. Comportement en 0. Calculons la dérivée de $u_n$ :
   $$u_n'(x) = 2 \frac{n^2+x^2 - x(2x)}{(n^2+x^2)^2} = \frac{2(n^2-x^2)}{(n^2+x^2)^2}$$
   Pour $x \in [-1, 1]$, on a $|u_n'(x)| \leq \frac{2(n^2+1)}{n^4} \sim \frac{2}{n^2}$. La série des dérivées converge normalement sur $[-1, 1]$. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est dérivable en $0$ et :
   $$f'(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n'(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n^2} = 2 \zeta(2) = \frac{\pi^2}{3}$$
   Comme $f(0)=0$, on obtient le développement limité $f(x) = \frac{\pi^2}{3}x + o(x)$.
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0}{\sim} \frac{\pi^2}{3}x}$$

5. Comportement en $+\infty$. Soit $x > 0$. Considérons $g(t) = \frac{2x}{t^2+x^2}$ pour $t \geq 0$. $g$ est décroissante sur $[0, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_{1}^{+\infty} g(t)   dt \leq \sum_{n=1}^{+\infty} g(n) \leq \int_{0}^{+\infty} g(t)   dt$$
   Calculons l'intégrale :
   $$\int_{0}^{+\infty} \frac{2x}{t^2+x^2}   dt = \left[ 2 \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_{0}^{+\infty} = \pi$$
   Et l'autre borne :
   $$\int_{1}^{+\infty} \frac{2x}{t^2+x^2}   dt = \pi - 2 \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$$
   On a donc l'encadrement :
   $$\pi - 2 \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \leq f(x) \leq \pi$$
   Par le théorème des gendarmes, quand $x \to +\infty$ :
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pi}   \text{et}   \boxed{f(x) \underset{+\infty}{\sim} \pi}$$