Convergence normale et Cauchy-Schwarz

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombres complexes.

On suppose que la série numérique de terme général $n^2 |a_n|^2$ est convergente.

Démontrer que la série de fonctions $\sum a_n e^{i n x}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ .

1.

Pour montrer la convergence normale sur $\mathbb{R}$ , il suffit de prouver la convergence de la série numérique $\sum |a_n|$ .

2.

Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur les sommes partielles en faisant apparaître le terme $n |a_n|$ .

3.

On pourra séparer le terme d'indice $n=0$ pour éviter toute division par zéro.

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Définition de la convergence normale : convergence de la série des normes infinies.

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Lien entre $|a_n e^{inx}|$ et $|a_n|$ .

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Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les séries numériques.

Résolution.

Considérons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $u_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u_n(x) = a_n e^{i n x}$ .

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $|u_n(x)| = |a_n|$ .

Par conséquent, la norme infinie de $u_n$ sur $\mathbb{R}$ est donnée par :

\boxed{\|u_n\|_{\infty} = |a_n|}

La série $\sum u_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ si et seulement si la série numérique $\sum |a_n|$ est convergente.

Traitons d'abord le cas des indices non nuls. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , nous pouvons écrire :

|a_n| = \frac{1}{n} \times (n |a_n|)

Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux sommes partielles pour $N \geq 1$ :

\sum_{n=1}^N |a_n| = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} \cdot n |a_n| \right) \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}} \sqrt{\sum_{n=1}^N n^2 |a_n|^2}

Par hypothèse, la série $\sum n^2 |a_n|^2$ converge. Notons $S_a$ sa somme.

De plus, nous savons que la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (sa somme vaut $\frac{\pi^2}{6}$ ).

Ainsi, pour tout $N \in \mathbb{N}^*$ :

\sum_{n=1}^N |a_n| \leq \sqrt{\frac{\pi^2}{6}} \sqrt{S_a}

La suite des sommes partielles de la série à termes positifs $\sum |a_n|$ est croissante et majorée, donc elle converge.

On en déduit que la série numérique $\sum_{n \geq 1} |a_n|$ est convergente.

Le terme $a_0$ ne modifiant pas la nature de la série, la série $\sum_{n \geq 0} |a_n|$ converge également.

\boxed{\text{La série } \sum a_n e^{i n x} \text{ converge normalement sur } \mathbb{R}.}

Oubli du traitement du cas n=0 lors de l'utilisation de 1/n

Technique de multiplication/division par n pour appliquer Cauchy-Schwarz