Convergence des itérées de la fonction sinus

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x) = \sin(x)$ . On définit pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ la fonction $f_n$ comme l'itérée $n$ -ième de $f$ , c'est-à-dire :

f_n = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ fois}}

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\sum_{n \ge 1} (-1)^{n-1} f_n$ .
Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que la série numérique $\sum_{n \ge 1} f_n(x)$ soit convergente.

1.

Pour la question 1, commencer par étudier la suite $(f_n(x))$ pour $x \in [0, \pi/2]$ . Utiliser le critère spécial des séries alternées. Pour la convergence uniforme, majorer le reste par le premier terme négligé et montrer qu'il tend vers 0 indépendamment de $x$ .

2.

Pour la question 2, si $x \notin \pi\mathbb{Z}$ , utiliser un développement asymptotique de $f_{n+1}$ en fonction de $f_n$ pour trouver un équivalent de $f_n(x)$ (méthode de la recherche d'un exposant $\alpha$ tel que $f_{n+1}^\alpha - f_n^\alpha$ converge vers une limite non nulle).

Idées clés

•

Suite récurrente de la forme $u_{n+1} = \sin(u_n)$ .

•

Critère de Leibniz pour les séries alternées (CSSA) et majoration du reste.

•

Développement asymptotique pour les suites récurrentes (méthode de l'exposant).

1. Étude de la série alternée.

Commençons par étudier la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ . La fonction $\sin$ est impaire, $2\pi$ -périodique et envoie $\mathbb{R}$ dans $[-1, 1]$ . De plus, pour tout $x \in [0, 1]$ , on a $0 \le \sin(x) \le x$ .

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Pour $n \ge 1$ , on a $f_n(x) \in [-1, 1]$ . Si $f_1(x) = \sin(x) \ge 0$ , alors la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ est positive, décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers un point fixe de sinus sur $[0, 1]$ , à savoir 0. Par imparité, si $f_1(x) < 0$ , la suite $(f_n(x))$ converge également vers 0 en étant négative et croissante.

\forall x \in \mathbb{R},   \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0

Pour $x$ fixé, la suite $(|f_n(x)|)_{n \ge 1}$ est décroissante et tend vers 0. D'après le critère spécial des séries alternées, la série numérique $\sum (-1)^{n-1} f_n(x)$ converge. On a donc la convergence simple sur $\mathbb{R}$ .

\boxed{\text{La série } \sum (-1)^{n-1} f_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}}

Pour la convergence uniforme, notons $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^{k-1} f_k(x)$ le reste d'ordre $n$ . Le CSSA nous donne la majoration suivante :

\forall x \in \mathbb{R},   |R_n(x)| \le |f_{n+1}(x)|

Comme $f_1(\mathbb{R}) = [-1, 1]$ , on a pour tout $n \ge 2$ , $f_n(\mathbb{R}) = f_{n-1}([-1, 1])$ . Par croissance de $\sin$ sur $[0, 1]$ et par imparité :

\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_{n+1}(x)| = f_{n+1}(\pi/2)   (\text{ou tout } x \text{ tel que } \sin(x)=1)

Or, nous avons montré que pour tout $x$ , $f_n(x) \to 0$ . En particulier $f_n(\pi/2) \to 0$ . On en déduit :

\|R_n\|_\infty \le f_{n+1}(\pi/2) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

\boxed{\text{La série } \sum (-1)^{n-1} f_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}}

2. Étude de la série à termes positifs.

Si $x \in \pi\mathbb{Z}$ , alors $f_1(x) = 0$ , donc $f_n(x) = 0$ pour tout $n$ . La série converge.

Supposons $x \notin \pi\mathbb{Z}$ . Alors $|f_n(x)| > 0$ pour tout $n$ et $|f_n(x)| \to 0$ . Cherchons un équivalent de $u_n = |f_n(x)|$ . On a $u_{n+1} = \sin(u_n)$ . On utilise le développement : $\sin(u) = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ .

Cherchons $\alpha$ tel que $u_{n+1}^\alpha - u_n^\alpha$ ait une limite finie non nulle.

u_{n+1}^{-2} - u_n^{-2} = \left( u_n - \frac{u_n^3}{6} + o(u_n^3) \right)^{-2} - u_n^{-2}

u_{n+1}^{-2} - u_n^{-2} = u_n^{-2} \left( 1 - \frac{u_n^2}{6} + o(u_n^2) \right)^{-2} - u_n^{-2}

u_{n+1}^{-2} - u_n^{-2} = u_n^{-2} \left( 1 + \frac{u_n^2}{3} + o(u_n^2) \right) - u_n^{-2} = \frac{1}{3} + o(1)

D'après le théorème de l'équivalent des sommes de Cauchy (ou lemme de Cesàro) :

u_n^{-2} = \sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1}^{-2} - u_k^{-2}) + u_0^{-2} \sim \frac{n}{3}

On en déduit :

|f_n(x)| \sim \sqrt{\frac{3}{n}}

La série $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ est une série de Riemann divergente. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum |f_n(x)|$ diverge.

\boxed{\text{La série } \sum f_n(x) \text{ converge si et seulement si } x \in \pi\mathbb{Z}}

Confondre convergence uniforme et convergence normale.

Méthode de l'exposant pour les équivalents de suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n).