Somme d'une série de fonctions rationnelles

Soit $x \in [0, 1[$ . On considère la fonction $f$ définie par la série suivante :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n} x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}

Déterminer une expression simplifiée de $f(x)$ sur son domaine de définition.

1.

On pourra reconnaître dans le terme général $u_n(x)$ la dérivée d'une fonction de la forme $x \mapsto \ln(1 + x^{2^n})$ .

2.

Utiliser les sommes partielles et transformer la somme en la dérivée d'un produit.

3.

Exploiter l'identité classique sur le produit des $(1 + x^{2^k})$ liée à la décomposition binaire des entiers.

•

Identification d'une dérivée logarithmique.

•

Utilisation d'un produit télescopique (identité remarquable).

•

Justification du passage à la limite pour la somme infinie.

Résolution.

Considérons, pour $x \in [0, 1[$ , la somme partielle d'ordre $N$ de la série :

S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} \frac{2^{n} x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}

On remarque que chaque terme de la somme est la dérivée d'une fonction simple. En effet :

\frac{d}{dx} \left( \ln(1 + x^{2^n}) \right) = \frac{2^n x^{2^n-1}}{1 + x^{2^n}}

Par linéarité de la dérivation, nous pouvons écrire :

S_N(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{N} \ln(1 + x^{2^n}) \right) = \frac{d}{dx} \left( \ln \left( \prod_{n=0}^{N} (1 + x^{2^n}) \right) \right)

Calculons le produit fini $P_N(x) = \prod_{n=0}^{N} (1 + x^{2^n})$ . Multiplions et divisons par $(1-x)$ (qui est non nul car $x < 1$ ) :

(1-x) P_N(x) = (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^N})

En utilisant successivement l'identité $(1-a)(1+a) = 1-a^2$ , on obtient :

(1-x)(1+x) = 1-x^2

(1-x^2)(1+x^2) = 1-x^4

Par une récurrence immédiate, on aboutit à :

\boxed{ P_N(x) = \frac{1 - x^{2^{N+1}}}{1-x} }

Dès lors, la somme partielle s'exprime comme :

S_N(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln \left( \frac{1 - x^{2^{N+1}}}{1-x} \right) \right) = \frac{d}{dx} \left( \ln(1 - x^{2^{N+1}}) - \ln(1-x) \right)

En dérivant chaque terme, nous obtenons :

S_N(x) = \frac{-2^{N+1} x^{2^{N+1}-1}}{1 - x^{2^{N+1}}} + \frac{1}{1-x}

Étudions la limite de $S_N(x)$ quand $N \to +\infty$ . Puisque $x \in [0, 1[$ , nous avons $\lim_{N \to +\infty} x^{2^{N+1}} = 0$ .

De plus, par croissance comparée (ou en posant $x = e^{-\alpha}$ ), on montre que :

\lim_{N \to +\infty} 2^{N+1} x^{2^{N+1}-1} = 0

Ainsi, le premier terme de l'expression de $S_N(x)$ tend vers $0$ . On en déduit :

f(x) = \lim_{N \to +\infty} S_N(x) = \frac{1}{1-x}

Finalement, pour tout $x \in [0, 1[$ :

\boxed{ f(x) = \frac{1}{1-x} }

Justifier proprement la limite du terme en $2^N x^{2^N}$

Identité du produit des (1+x^{2^k})