Série trigonométrique et intégrale de Poisson

Résolution.

1. Convergence normale de la série $\sum f_n$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a l'inégalité :
   $$|f_n(x)| = \left| \frac{a^n}{n} \cos(nx) \right| \leq \frac{|a|^n}{n} \leq |a|^n$$
   Comme $|a| < 1$, la série géométrique $\sum |a|^n$ converge. Par comparaison, la série numérique $\sum \|f_n\|_{\infty}$ converge, ce qui prouve que :
   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge normalement sur } \mathbb{R}.}$$

2. Étude de la régularité et expression de $f$.
   • Chaque fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $f_n'(x) = -a^n \sin(nx)$.
   • La série $\sum f_n$ converge simplement (et même normalement) vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
   • Étudions la série des dérivées $\sum f_n'$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f_n'(x)| \leq |a|^n$. Comme précédemment, la série $\sum f_n'$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}$.
   D'après le théorème de dérivation terme à terme, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et :
   $$f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} -a^n \sin(nx)$$
   Pour calculer cette somme, passons aux complexes :
   $$f'(x) = -\text{Im} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} a^n e^{inx} \right) = -\text{Im} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} (ae^{ix})^n \right)$$
   Comme $|ae^{ix}| = |a| < 1$, on reconnaît une série géométrique :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} (ae^{ix})^n = \frac{ae^{ix}}{1 - ae^{ix}} = \frac{ae^{ix}(1 - ae^{-ix})}{|1 - ae^{ix}|^2} = \frac{ae^{ix} - a^2}{1 + a^2 - 2a \cos x}$$
   En prenant la partie imaginaire, on obtient :
   $$\boxed{f'(x) = -\frac{a \sin x}{1 + a^2 - 2a \cos x}}$$
   On reconnaît une forme $\frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = 1 + a^2 - 2a \cos x$. Ainsi, il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que :
   $$f(x) = -\frac{1}{2} \ln(1 + a^2 - 2a \cos x) + C$$
   Pour $x=0$, on a $f(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n}{n} = -\ln(1-a)$. D'autre part, $f(0) = -\frac{1}{2} \ln(1 + a^2 - 2a) + C = -\frac{1}{2} \ln((1-a)^2) + C = -\ln(1-a) + C$. On en déduit $C=0$. Ainsi :
   $$\boxed{f(x) = -\frac{1}{2} \ln(1 + a^2 - 2a \cos x)}$$

3. Calcul de l'intégrale $I$. Existence : La fonction $t \mapsto 1+a^2-2a\cos t$ est continue sur $[-\pi, \pi]$. Comme $|a|<1$, on a $1+a^2-2a\cos t \geq 1+a^2-2|a| = (1-|a|)^2 > 0$. L'argument du logarithme est strictement positif et continu, donc $I$ existe. D'après la question précédente, $\ln(1 + a^2 - 2a \cos t) = -2 f(t) = -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n}{n} \cos(nt)$. La série de fonctions converge normalement sur $[-\pi, \pi]$, on peut donc intervertir les symboles $\sum$ et $\int$ :
   $$I = -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt)   \mathrm{d}t$$
   Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a :
   $$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt)   \mathrm{d}t = \left[ \frac{\sin(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0$$
   Tous les termes de la série sont nuls, donc :
   $$\boxed{I = 0}$$