Convergence d'un produit infini de fonctions

On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

u_n(x) = \prod_{k=1}^{n} (1 + x^k)

Déterminer l'ensemble $D$ des réels $x$ pour lesquels la suite $(u_n(x))_{n \ge 1}$ converge vers une limite réelle finie non nulle.
Étudier la convergence simple de la suite $(u_n)$ sur l'intervalle $]-1, 1[$ .
Montrer que la suite $(u_n)$ converge uniformément sur tout segment de $]-1, 1[$ .

1.

Pour transformer un produit en somme, l'utilisation du logarithme népérien est souvent pertinente, à condition que les termes soient strictement positifs.

2.

Rappel : si $\sum |a_k|$ converge, alors $\sum \ln(1+a_k)$ converge (pour $a_k$ assez petit).

3.

Pour la convergence uniforme, s'intéresser à la convergence normale de la série des logarithmes sur tout segment $[-a, a] \subset ]-1, 1[$ .

Idées clés

•

Transformation d'un produit en série via le logarithme.

•

Étude de la convergence absolue d'une série pour assurer la convergence du produit.

•

Lien entre convergence normale d'une série et convergence uniforme du produit associé.

1. Analyse du domaine de convergence simple.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Étudions la limite de $u_n(x)$ .

Si $x = 1$ , alors $u_n(1) = 2^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ .

Si $x > 1$ , alors $1+x^k \ge 2$ pour tout $k \ge 1$ , donc $u_n(x) \ge 2^n$ , d'où $u_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ .

Si $x \le -1$ , le terme $(1+x^k)$ ne tend pas vers $1$ . En particulier, si $x = -1$ , $u_n(-1) = 0$ pour tout $n \ge 1$ . Si $x < -1$ , $|1+x^k|$ diverge, donc le produit ne peut pas converger vers une limite finie non nulle.

Si $x \in ]-1, 1[$ , alors $|x|^k \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$ . À partir d'un certain rang, $1+x^k > 0$ . On peut alors utiliser le logarithme :

\ln(u_n(x)) = \sum_{k=1}^n \ln(1+x^k)

On sait que $\ln(1+x^k) \sim x^k$ lorsque $k \to +\infty$ . Puisque la série géométrique $\sum x^k$ converge absolument pour $|x| < 1$ , la série $\sum \ln(1+x^k)$ converge absolument par comparaison.

Ainsi, $\ln(u_n(x))$ converge vers une limite finie $L(x)$ , et par continuité de l'exponentielle :

u_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{L(x)} \neq 0

\boxed{ D = ]-1, 1[ }

2. Convergence simple sur $]-1, 1[$ .

D'après l'étude précédente, la suite $(u_n)$ converge simplement sur $]-1, 1[$ vers la fonction $u$ définie par :

\boxed{ u(x) = \prod_{k=1}^{+\infty} (1+x^k) }

3. Convergence uniforme sur tout segment.

Soit $a \in [0, 1[$ . On considère le segment $K = [-a, a]$ . Pour tout $x \in K$ , on a $|x^k| \le a^k$ .

Puisque $a^k \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$ , il existe un rang $N$ tel que pour tout $k \ge N$ et tout $x \in K$ , $|x^k| \le \frac{1}{2}$ . On utilise l'inégalité classique $|\ln(1+t)| \le 2|t|$ pour $|t| \le \frac{1}{2}$ . Ainsi, pour $k \ge N$ :

\forall x \in [-a, a],   |\ln(1+x^k)| \le 2|x|^k \le 2a^k

La série géométrique $\sum 2a^k$ étant convergente (car $0 \le a < 1$ ), la série de fonctions $\sum \ln(1+x^k)$ converge normalement sur $[-a, a]$ .

La convergence normale implique la convergence uniforme de la série des logarithmes sur $[-a, a]$ . Soit $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \ln(1+x^k)$ et $S(x)$ sa limite. Comme $S$ est continue sur le compact $[-a, a]$ , elle y est bornée.

L'exponentielle étant uniformément continue sur tout segment de $\mathbb{R}$ , la convergence uniforme de $S_n$ vers $S$ entraîne la convergence uniforme de $u_n = \exp(S_n)$ vers $u = \exp(S)$ sur $[-a, a]$ .

\boxed{ (u_n) \text{ converge uniformément sur tout segment de } ]-1, 1[ }

Utilisation du logarithme sans vérifier la positivité des termes.

Passage au logarithme pour transformer un produit en série.