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Dérivabilité en zéro et séries de fonctions

dérivabilitésérie de fonctionstélescopagecontinuitéSomme télescopiqueConvergence normale

Soit EE un espace vectoriel normé de dimension finie. On considère une application f:[0,1]→Ef : [0, 1] \to E continue au point 00.

On suppose qu'il existe un vecteur ℓ∈E\ell \in E tel que :

lim⁡t→0+f(2t)−f(t)t=ℓ\lim_{t \to 0^+} \frac{f(2t) - f(t)}{t} = \ell

Démontrer que la fonction ff est dérivable à droite en 00 et que f′(0)=ℓf'(0) = \ell.

1.

Pour t>0t > 0 fixé, exprimer la différence f(t)−f(t/2n)f(t) - f(t/2^n) sous forme d'une somme télescopique faisant intervenir des termes du type f(2u)−f(u)f(2u) - f(u).

2.

Faire tendre nn vers l'infini en utilisant la continuité de ff en 00 pour obtenir une série de fonctions.

3.

Justifier le passage à la limite quand t→0t \to 0 sous le signe somme à l'aide d'un argument de convergence uniforme ou de domination.

Idées clés

•

Transformation d'une différence en somme télescopique.

•

Utilisation de la continuité pour faire disparaître le reste.

•

Théorème de la limite sous le signe somme pour les séries de fonctions.

Résolution.

Considérons, pour t∈]0,1]t \in ]0, 1], la fonction auxiliaire gg définie par :

g(t)=f(2t)−f(t)tg(t) = \frac{f(2t) - f(t)}{t}

Par hypothèse, gg admet une limite ℓ\ell en 00. Prolongeons gg par continuité en posant g(0)=ℓg(0) = \ell. Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et tout t>0t > 0 tel que t∈[0,1]t \in [0, 1], on peut écrire la somme télescopique suivante :

f(t)−f(t2n)=∑k=1n[f(t2k−1)−f(t2k)]f(t) - f\left(\frac{t}{2^n}\right) = \sum_{k=1}^n \left[ f\left(\frac{t}{2^{k-1}}\right) - f\left(\frac{t}{2^k}\right) \right]

En remarquant que t2k−1=2⋅t2k\frac{t}{2^{k-1}} = 2 \cdot \frac{t}{2^k}, chaque terme de la somme se réécrit :

f(t2k−1)−f(t2k)=t2k⋅f(2⋅t2k)−f(t2k)t2k=t2kg(t2k)f\left(\frac{t}{2^{k-1}}\right) - f\left(\frac{t}{2^k}\right) = \frac{t}{2^k} \cdot \frac{f(2 \cdot \frac{t}{2^k}) - f(\frac{t}{2^k})}{\frac{t}{2^k}} = \frac{t}{2^k} g\left(\frac{t}{2^k}\right)

On en déduit l'égalité :

f(t)−f(t/2n)t=∑k=1n12kg(t2k)\frac{f(t) - f(t/2^n)}{t} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} g\left(\frac{t}{2^k}\right)

Comme ff est continue en 00, on sait que lim⁡n→+∞f(t/2n)=f(0)\lim_{n \to +\infty} f(t/2^n) = f(0). Par ailleurs, la série ∑12kg(t/2k)\sum \frac{1}{2^k} g(t/2^k) converge car gg est bornée au voisinage de 00 (puisqu'elle y est continue). En passant à la limite quand n→+∞n \to +\infty, on obtient :

f(t)−f(0)t=∑k=1+∞12kg(t2k)\boxed{ \frac{f(t) - f(0)}{t} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} g\left(\frac{t}{2^k}\right) }

Posons uk(t)=12kg(t2k)u_k(t) = \frac{1}{2^k} g\left(\frac{t}{2^k}\right). Nous voulons calculer la limite de cette somme quand t→0+t \to 0^+.

  1. Pour chaque k≥1k \ge 1, lim⁡t→0+uk(t)=12kg(0)=ℓ2k\lim_{t \to 0^+} u_k(t) = \frac{1}{2^k} g(0) = \frac{\ell}{2^k}.
  2. La fonction gg étant continue sur [0,1][0, 1], elle est bornée par une constante M=sup⁡t∈[0,1]∥g(t)∥M = \sup_{t \in [0, 1]} \|g(t)\|.
  3. On a alors ∥uk(t)∥≤M2k\|u_k(t)\| \le \frac{M}{2^k}, ce qui assure la convergence normale (et donc uniforme) de la série de fonctions sur [0,1][0, 1].

D'après le théorème de la limite sous le signe somme :

lim⁡t→0+f(t)−f(0)t=∑k=1+∞(lim⁡t→0+uk(t))=∑k=1+∞ℓ2k\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \sum_{k=1}^{+\infty} \left( \lim_{t \to 0^+} u_k(t) \right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\ell}{2^k}

On calcule la somme géométrique :

∑k=1+∞12k=1/21−1/2=1\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1

On conclut que :

lim⁡t→0+f(t)−f(0)t=ℓ\boxed{ \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \ell }

La fonction ff est donc dérivable à droite en 00 et f′(0)=ℓf'(0) = \ell.

Oublier de justifier l'interversion limite et somme infinie.

Utiliser une série télescopique pour relier un taux d'accroissement global à une limite locale.