Comparaison de séries de termes positifs

Résolution.

Considérons les deux cas de figure possibles selon le comportement de la suite $(u_n)$.

Premier cas : la suite $(u_n)$ ne tend pas vers $0$.

Si la suite $(u_n)$ ne converge pas vers $0$, alors il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui reste éloignée de $0$. De plus, si $u_n \to +\infty$ (ou si elle est non bornée), on observe les comportements suivants :

1. Pour $a_n$ : $a_n = \frac{u_n}{1+u_n} = 1 - \frac{1}{1+u_n}$. Si $u_n \not\to 0$, alors $a_n \not\to 0$.
2. Pour $c_n$ : Comme $u_n \ge 0$, si $u_n \not\to 0$, alors $c_n = \ln(1+u_n) \not\to 0$.
3. Pour $b_n$ : La fonction $f : x \mapsto \frac{1}{1+x^e}$ est continue et strictement positive sur $\mathbb{R}^+$. L'intégrale $\int_0^{u_n} f(x)   dx$ ne peut tendre vers $0$ que si $u_n \to 0$.

Dans cette situation, les termes généraux $a_n, b_n$ et $c_n$ ne tendent pas vers $0$.

Deuxième cas : la suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Supposons désormais que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. Nous allons chercher un équivalent de chaque terme général.

1. Étude de $a_n$ : On sait que $\frac{u_n}{1+u_n} = u_n \left( \frac{1}{1+u_n} \right)$. Comme $u_n \to 0$, on a :
   $$\boxed{a_n \sim u_n}$$

2. Étude de $c_n$ : Par développement limité de la fonction $\ln(1+x)$ au voisinage de $0$, on a immédiatement :
   $$\boxed{c_n = \ln(1+u_n) \sim u_n}$$

3. Étude de $b_n$ : Soit $F(u) = \int_0^u \frac{1}{1+x^e}   dx$. La fonction sous l'intégrale est continue sur $\mathbb{R}^+$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $F'(u) = \frac{1}{1+u^e}$. En $0$, on a $F'(0) = 1$. Le développement limité de $F$ à l'ordre 1 en $0$ donne :
   $$F(u) = F(0) + u F'(0) + o(u) = 0 + u \cdot 1 + o(u)$$
   Ainsi, comme $u_n \to 0$ :
   $$\boxed{b_n = \int_0^{u_n} \frac{dt}{1+t^e} \sim u_n}$$

Conclusion sur la nature des séries :

Les suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ sont des suites de réels positifs. D'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs par équivalence, ces trois séries ont la même nature que la série $\sum u_n$.