Série associée à une suite récurrente

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite réelle définie par la donnée de $u_1 \in \mathbb{R}$ et par la relation de récurrence suivante :

\forall n \in \mathbb{N}^*,   u_{n+1} = \frac{\sin(u_n)}{n}

Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ .

1.

Utiliser l'inégalité classique $|\sin(x)| \le |x|$ valable pour tout réel $x$ .

2.

Établir une majoration du terme général $|u_n|$ par une suite dont la série converge, par exemple en utilisant des factorielles.

3.

Conclure sur la convergence absolue de la série.

Idées clés

•

Propriété de la fonction sinus : $|\sin(x)| \le |x|$ .

•

Majoration par une suite de référence (série exponentielle).

•

Lien entre convergence absolue et convergence simple.

Résolution.

Considérons la suite des valeurs absolues $(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}^*}$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , nous utilisons la majoration classique de la fonction sinus sur $\mathbb{R}$ .

On a l'inégalité suivante :

\forall n \in \mathbb{N}^*,   |u_{n+1}| = \frac{|\sin(u_n)|}{n} \le \frac{|u_n|}{n}

Montrons par récurrence que pour tout $n \ge 2$ , on a la majoration :

|u_n| \le \frac{|u_1|}{(n-1)!}

Initialisation : Pour $n=2$ , la relation de récurrence donne $|u_2| = \frac{|\sin(u_1)|}{1} \le |u_1|$ . Comme $(2-1)! = 1! = 1$ , on a bien $|u_2| \le \frac{|u_1|}{1!}$ , l'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain rang $n \ge 2$ . Alors, au rang $n+1$ :

|u_{n+1}| \le \frac{|u_n|}{n} \le \frac{1}{n} \cdot \frac{|u_1|}{(n-1)!} = \frac{|u_1|}{n!}

La propriété est donc démontrée par récurrence pour tout $n \ge 2$ .

Nous savons que la série $\sum \frac{1}{(n-1)!}$ est une série convergente (elle converge vers $e$ ). Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum |u_n|$ converge.

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ est absolument convergente.}}

Comme toute série absolument convergente dans $\mathbb{R}$ est convergente, nous en déduisons le résultat final :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge.}}

Confondre convergence de la suite vers 0 et convergence de la série.

L'inégalité |sin(x)| <= |x| est fondamentale pour majorer des termes généraux de séries.