Nature de la série des cubes

Résolution.

1. Cas de la convergence absolue. Considérons la suite $u$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par :
   $$u_n = \frac{1}{n^2}$$
   La série $\sum u_n$ est une série de Riemann convergente car $2 > 1$. Le terme général de la série des cubes est :
   $$u_n^3 = \frac{1}{n^6}$$
   La série $\sum u_n^3$ est également une série de Riemann convergente ($6 > 1$). Comme elle est à termes positifs, elle converge absolument.
   $$\boxed{\text{Si } u_n = \frac{1}{n^2}, \text{ alors } \sum u_n \text{ et } \sum u_n^3 \text{ convergent absolument.}}$$

2. Cas de la semi-convergence. Considérons la suite $u$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par :
   $$u_n = \frac{(-1)^n}{n^{1/3}}$$
   La série $\sum u_n$ est une série alternée. La suite $(n^{-1/3})_{n \ge 1}$ est décroissante et tend vers $0$. D'après le critère spécial des séries alternées, $\sum u_n$ converge. Calculons le terme général de la série des cubes :
   $$u_n^3 = \left( \frac{(-1)^n}{n^{1/3}} \right)^3 = \frac{(-1)^{3n}}{n} = \frac{(-1)^n}{n}$$
   La série $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ est la série harmonique alternée, qui est classiquement convergente (par le CSSA). Cependant, la série $\sum |u_n^3| = \sum \frac{1}{n}$ est la série harmonique, qui diverge.
   $$\boxed{\text{Si } u_n = \frac{(-1)^n}{n^{1/3}}, \text{ alors } \sum u_n^3 \text{ est semi-convergente.}}$$

3. Cas de la divergence. Soit $j = e^{2i\pi/3}$. Considérons la suite $u$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par :
   $$u_n = \frac{j^n}{n^{1/3}}$$
   Vérifions d'abord la convergence de $\sum u_n$. La suite $(1/n^{1/3})_{n \ge 1}$ est réelle, positive, décroissante et tend vers $0$. Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a :
   $$\left| \sum_{n=1}^N j^n \right| = \left| j \frac{1-j^N}{1-j} \right| \le \frac{2}{|1-j|}$$
   Les sommes partielles de $\sum j^n$ sont donc bornées. D'après le critère de Dirichlet (ou règle d'Abel), la série $\sum u_n$ converge. Étudions maintenant la série des cubes :
   $$u_n^3 = \left( \frac{j^n}{n^{1/3}} \right)^3 = \frac{j^{3n}}{n} = \frac{(j^3)^n}{n}$$
   Comme $j^3 = (e^{2i\pi/3})^3 = e^{2i\pi} = 1$, il vient :
   $$u_n^3 = \frac{1}{n}$$
   On reconnaît le terme général de la série harmonique qui diverge.
   $$\boxed{\text{Si } u_n = \frac{e^{2i\pi n/3}}{n^{1/3}}, \text{ alors } \sum u_n \text{ converge mais } \sum u_n^3 \text{ diverge.}}$$