Nature d'une série à coefficients périodiques pondérés

Soit $p$ un entier naturel non nul. On se donne $p$ nombres réels $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \dots, \alpha_{p-1}$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit le coefficient $a_n$ par :

a_n = \frac{\alpha_{r(n)}}{n}

où

r(n)

désigne le reste de la division euclidienne de

n

par

p

.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels $(\alpha_k)_{0 \le k < p}$ pour que la série $\sum_{n \ge 1} a_n$ soit convergente.

1.

Étudier le comportement des sommes partielles par paquets de taille $p$ .

2.

Effectuer un développement asymptotique du terme général au sein de chaque bloc pour faire apparaître la somme des $\alpha_k$ .

3.

On pourra poser $S_{mp} = \sum_{n=1}^{mp} a_n$ et analyser sa limite lorsque $m \to +\infty$ .

Idées clés

•

Regroupement par blocs (sommation par paquets).

•

Comparaison avec la série harmonique (divergence de $\sum \frac{1}{n}$ ).

•

Développement asymptotique de $\frac{1}{np+k}$ .

Résolution.

Soit $N \in \mathbb{N}^*$ . On note $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ la somme partielle d'ordre $N$ . Commençons par examiner les sommes partielles pour des indices multiples de $p$ .

Pour tout $m \in \mathbb{N}^*$ , on peut écrire :

S_{mp} = \sum_{j=0}^{m-1} \left( \sum_{k=1}^p \frac{\alpha_{r(j p + k)}}{jp + k} \right)

On remarque que pour $k \in \{1, \dots, p\}$ , le reste $r(jp+k)$ est simplement $k$ si $k < p$ et $0$ si $k=p$ . Ainsi, l'ensemble des valeurs $\{r(jp+k) \mid k \in \{1, \dots, p\}\}$ parcourt exactement une fois l'ensemble $\{0, 1, \dots, p-1\}$ .

Posons $\sigma = \sum_{k=0}^{p-1} \alpha_k$ . Pour un bloc fixé $j$ , effectuons un développement asymptotique pour $j$ au voisinage de $+\infty$ :

\sum_{k=1}^p \frac{\alpha_{r(k)}}{jp+k} = \sum_{k=1}^p \frac{\alpha_{r(k)}}{jp} \left( 1 + \frac{k}{jp} \right)^{-1}

En développant à l'ordre 1, on obtient :

\sum_{k=1}^p \frac{\alpha_{r(k)}}{jp+k} = \sum_{k=1}^p \frac{\alpha_{r(k)}}{jp} + O\left( \frac{1}{j^2} \right)

Comme la somme est finie, on peut sortir le facteur constant :

\sum_{k=1}^p \frac{\alpha_{r(k)}}{jp+k} = \frac{1}{jp} \left( \sum_{k=0}^{p-1} \alpha_k \right) + O\left( \frac{1}{j^2} \right) = \frac{\sigma}{p} \cdot \frac{1}{j} + O\left( \frac{1}{j^2} \right)

En sommant pour $j$ allant de $1$ à $m-1$ (le premier terme $j=0$ étant mis à part), nous obtenons :

S_{mp} = \frac{\sigma}{p} \sum_{j=1}^{m-1} \frac{1}{j} + \sum_{j=1}^{m-1} O\left( \frac{1}{j^2} \right) + \text{constante}

Cas 1 : $\sigma \neq 0$ . Dans ce cas, $S_{mp} \sim \frac{\sigma}{p} \ln(m)$ quand $m \to +\infty$ . La suite des sommes partielles tend vers $\pm \infty$ , donc la série diverge.

Cas 2 : $\sigma = 0$ . Dans ce cas, le terme prépondérant s'annule et il reste :

S_{mp} = \sum_{j=1}^{m-1} O\left( \frac{1}{j^2} \right) + \text{constante}

Comme la série $\sum \frac{1}{j^2}$ converge, la suite $(S_{mp})_{m \in \mathbb{N}^*}$ converge vers une limite finie $L$ . Pour conclure à la convergence de la série, il faut vérifier que $S_N \to L$ même si $N$ n'est pas un multiple de $p$ . Soit $N \in \mathbb{N}^*$ . On écrit $N = m_N p + q_N$ avec $0 \le q_N < p$ . Alors :

S_N = S_{m_N p} + \sum_{n=m_N p + 1}^{m_N p + q_N} \frac{\alpha_{r(n)}}{n}

Or, la somme restante contient au plus $p-1$ termes, et chaque terme tend vers 0 puisque :

\left| \sum_{n=m_N p + 1}^{m_N p + q_N} \frac{\alpha_{r(n)}}{n} \right| \le \frac{(p-1) \cdot \max |\alpha_k|}{m_N p} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0

Par conséquent, $S_N$ converge vers la même limite que $S_{m_N p}$ .

\boxed{\text{La série } \sum a_n \text{ converge si et seulement si } \sum_{k=0}^{p-1} \alpha_k = 0.}

Vérifier que le reste d'un bloc tend vers zéro pour passer de la convergence d'une sous-suite de sommes partielles à celle de la série.

La série $\sum \frac{u_n}{n}$ avec $u$ périodique converge ssi la somme sur une période est nulle.