Séries de Riemann complexes et comparaison intégrale

Résolution.

1. Étude de la série $\sum u_n$. Si $b = 0$, alors $u_n = \int_n^{n+1} \frac{1}{t} dt = \ln(n+1) - \ln n$. La somme partielle $S_N = \sum_{n=1}^N u_n = \ln(N+1)$ tend vers $+\infty$. La série diverge. Si $b \neq 0$, on effectue le calcul direct de la primitive :
   $$u_n = \left[ \frac{\sin(b \ln t)}{b} \right]_n^{n+1} = \frac{\sin(b \ln(n+1)) - \sin(b \ln n)}{b}$$
   Par télescopage, la somme partielle d'ordre $N$ est :
   $$S_N = \sum_{n=1}^N u_n = \frac{\sin(b \ln(N+1)) - \sin(b \ln 1)}{b} = \frac{\sin(b \ln(N+1))}{b}$$
   Comme la fonction $x \mapsto \sin(b \ln(x+1))$ n'admet pas de limite en $+\infty$ (elle oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$), la suite $(S_N)$ diverge.
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ diverge pour tout } b \in \mathbb{R}.}$$

2. Relation entre $u_n$ et $v_n$. Posons $f(t) = \frac{\cos(b \ln t)}{t}$. Alors $u_n = \int_n^{n+1} f(t) dt$ et $v_n = f(n)$. Calculons la dérivée de $f$ :
   $$f'(t) = \frac{-\frac{b}{t}\sin(b \ln t) \cdot t - \cos(b \ln t)}{t^2} = - \frac{b \sin(b \ln t) + \cos(b \ln t)}{t^2}$$
   Effectuons une intégration par parties sur $u_n = \int_n^{n+1} 1 \cdot f(t) dt$ en choisissant $t \mapsto t-n-1$ comme primitive de $1$ :
   $$u_n = \left[ (t-n-1)f(t) \right]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (t-n-1) f'(t) dt$$
   $$u_n = 0 - (n-n-1)f(n) - \int_n^{n+1} (t-n-1) f'(t) dt = f(n) - \int_n^{n+1} (t-n-1) f'(t) dt$$
   En remplaçant $f(n)$ par $v_n$ et $f'(t)$ par son expression :
   $$\boxed{u_n - v_n = \int_n^{n+1} (t-n-1) \frac{\cos(b \ln t) + b \sin (b \ln t)}{t^2} dt}$$

3. Nature de $\sum v_n$. Pour $t \in [n, n+1]$, on a $|t-n-1| \leq 1$ et par l'inégalité triangulaire :
   $$|\cos(b \ln t) + b \sin (b \ln t)| \leq 1 + |b|$$
   Ainsi, $|u_n - v_n| \leq \int_n^{n+1} \frac{1+|b|}{t^2} dt \leq \frac{1+|b|}{n^2}$. La série $\sum (u_n - v_n)$ est donc absolument convergente. Comme $v_n = u_n - (u_n - v_n)$, la série $\sum v_n$ a la même nature que $\sum u_n$. D'après la question 1, $\sum u_n$ diverge, donc :
   $$\boxed{\text{La série } \sum \frac{\cos(b \ln n)}{n} \text{ diverge pour tout } b \in \mathbb{R}.}$$

4. Extension aux séries de Riemann complexes. Soit $z = x + iy$ avec $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. On a $|n^{-z}| = n^{-x}$. Cas 1 : $x > 1$. La série converge absolument d'après le critère de Riemann réel. Cas 2 : $x \leq 0$. Le terme général ne tend pas vers 0 ($|n^{-z}| \geq 1$), la série diverge grossièrement. Cas 3 : $x = 1$. $n^{-1-iy} = \frac{1}{n} (\cos(y \ln n) - i \sin(y \ln n))$. D'après la question 3, les parties réelle et imaginaire sont les termes généraux de séries divergentes (sauf pour la partie imaginaire si $y=0$, mais alors c'est la série harmonique qui diverge). La série diverge. Cas 4 : $0 < x < 1$. On peut généraliser la méthode de la question 2. En comparant $\sum n^{-z}$ à $\int_1^N t^{-z} dt = [\frac{t^{1-z}}{1-z}]_1^N$, on montre que la série diverge car $1-x > 0$ implique que le module du terme intégré tend vers l'infini.
   $$\boxed{\sum \frac{1}{n^z} \text{ converge si et seulement si } \text{Re}(z) > 1.}$$