Transformée d'Euler pour les suites et séries

Résolution.

1. Convergence de $(b_n)$. Soit $\epsilon > 0$. Puisque $a_n \to l$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \geq N$, $|a_k - l| \leq \epsilon$. On écrit la différence :
   $$b_n - l = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k - l \cdot \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (a_k - l)$$
   On coupe la somme au rang $N$ pour $n > N$ :
   $$|b_n - l| \leq \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^N \binom{n}{k} |a_k - l| + \frac{1}{2^n} \sum_{k=N+1}^n \binom{n}{k} |a_k - l|$$
   Le second terme est majoré par $\frac{\epsilon}{2^n} \sum_{k=N+1}^n \binom{n}{k} \leq \frac{\epsilon}{2^n} \cdot 2^n = \epsilon$. Pour le premier terme, $N$ étant fixé, $\sum_{k=0}^N \binom{n}{k} |a_k - l|$ est un polynôme en $n$ de degré au plus $N$. Comme $2^n$ croît plus vite que tout polynôme, ce terme tend vers $0$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $N'$ tel que pour $n \geq N'$, le premier terme est inférieur à $\epsilon$.
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} b_n = l }$$

2. Expression de $B_n$ en fonction des $A_p$. Cherchons à montrer par récurrence ou par manipulation directe que :
   $$B_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1} A_k$$
   Vérifions que $B_n - B_{n-1} = b_n$ (en posant $B_{-1}=0$). Calculons $2^n B_n - 2 \cdot 2^{n-1} B_{n-1}$ :
   $$\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1} A_k - 2 \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1} A_k = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n+1}{k+1} - 2\binom{n}{k+1} \right) A_k$$
   En utilisant $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k}$, le terme entre parenthèses devient $\binom{n}{k} - \binom{n}{k+1}$. D'où : $2^n (B_n - B_{n-1}) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A_k - \sum_{k=0}^n \binom{n}{k+1} A_k$. Par décalage d'indice dans la seconde somme :
   $$2^n (B_n - B_{n-1}) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A_k - \sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j} A_{j-1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (A_k - A_{k-1})$$
   Comme $A_k - A_{k-1} = a_k$ (avec $A_{-1}=0$), on retrouve bien $2^n b_n$. Par sommation, la formule est validée :
   $$\boxed{ B_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1} A_k }$$

3. Convergence de la série. Supposons que $A_n \to L = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k$. D'après la formule de la question 2, $B_n$ est une moyenne pondérée des $(A_k)$. Posons $w_{n,k} = \frac{1}{2^n} \binom{n+1}{k+1}$. La somme des poids est :
   $$\sum_{k=0}^n w_{n,k} = \frac{1}{2^n} \sum_{j=1}^{n+1} \binom{n+1}{j} = \frac{1}{2^n} (2^{n+1} - 1) = 2 - \frac{1}{2^n}$$
   Par un raisonnement identique à la question 1 (découpage de somme), comme $A_n \to L$, on a :
   $$B_n \to L \times \left( \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n w_{n,k} \right) = 2L$$
   Ainsi, la suite des sommes partielles $(B_n)$ converge vers $2L$.
   $$\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} b_n = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} a_n }$$