Étude d'une série de fonctions hyperboliques

Résolution.

1. Domaine de définition.

   Soit $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$. Utilisons l'identité $\operatorname{sh}(a-b) = \operatorname{sh}(a)\operatorname{ch}(b) - \operatorname{ch}(a)\operatorname{sh}(b)$. En écrivant $x = (n+x) - n$, on obtient :

   $$\operatorname{sh}(x) = \operatorname{sh}(n+x)\operatorname{ch}(n) - \operatorname{ch}(n+x)\operatorname{sh}(n)$$

   En divisant par $\operatorname{ch}(n)\operatorname{ch}(n+x)$, il vient :

   $$u_n(x) = \frac{\operatorname{sh}(n+x)\operatorname{ch}(n) - \operatorname{ch}(n+x)\operatorname{sh}(n)}{\operatorname{ch}(n)\operatorname{ch}(n+x)}$$
   D'où la simplification fondamentale :
   $$\boxed{ u_n(x) = \tanh(n+x) - \tanh(n) }$$

   Pour $x$ fixé, lorsque $n \to +\infty$, par application de l'inégalité des accroissements finis à la fonction $\tanh$ entre $n$ et $n+x$ :

   $$|u_n(x)| \le |x| \cdot \sup_{t \in [n, n+x]} |\tanh'(t)| = \frac{|x|}{\operatorname{ch}^2(\xi_n)}$$
   où $\xi_n$ est entre $n$ et $n+x$.

   Comme $\operatorname{ch}^2(\xi_n) \sim \frac{e^{2n}}{4}$ quand $n \to +\infty$, le terme général $u_n(x)$ est le terme général d'une série absolument convergente. Ainsi, $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

2. Continuité.

   Soit $A > 0$. Pour tout $x \in [-A, A]$ et $n > A$, on a $\xi_n \ge n - A > 0$. Alors $\operatorname{ch}^2(\xi_n) \ge \operatorname{ch}^2(n-A)$. On en déduit :

   $$\forall x \in [-A, A],   |u_n(x)| \le \frac{A}{\operatorname{ch}^2(n-A)}$$

   La série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$. Comme chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$, la somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

   $$\boxed{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) }$$

3. Dérivabilité et variations.

   Calculons la dérivée de $u_n$ pour $x \in \mathbb{R}$ :

   $$u_n'(x) = \frac{d}{dx} \left( \tanh(n+x) - \tanh(n) \right) = \frac{1}{\operatorname{ch}^2(n+x)}$$

   Soit $A \in \mathbb{R}$. Pour $x \in [A, +\infty[$, on a $n+x \ge n+A$. Pour $n$ suffisamment grand tel que $n+A > 0$, la fonction $t \mapsto \frac{1}{\operatorname{ch}^2(t)}$ est décroissante sur $[n+A, +\infty[$. Ainsi :

   $$\forall x \in [A, +\infty[,   |u_n'(x)| \le \frac{1}{\operatorname{ch}^2(n+A)}$$

   La série $\sum u_n'$ converge donc normalement sur tout intervalle de la forme $[A, +\infty[$. Par théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et :

   $$\forall x \in \mathbb{R},   f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{ch}^2(n+x)}$$

   Comme $\operatorname{ch}^2(t) > 0$ pour tout $t$, on a $f'(x) > 0$.

   $$\boxed{ f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R} }$$