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Séries et intégrales à bornes variables

IntégralesConvergence dominéeÉquivalentsThéorème de la moyenneChangement de variable

Étudier la convergence des séries dont le terme général est :

  1. un=∫01/nxα−11+x dxu_{n}=\int_{0}^{1/n} \frac{x^{\alpha-1}}{1+\sqrt{x}}   dx avec α>0\alpha > 0.
  2. un=1nα∫0natan⁡t1+t dtu_{n}=\frac{1}{n^{\alpha}} \int_{0}^{n} \frac{\operatorname{atan} t}{1+t}   dt avec α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
  3. un=∫n2ndt1+ttu_{n}=\int_{n}^{2n} \frac{dt}{1+t \sqrt{t}}.
  4. un=∫n+∞x+xcos⁡(x)1+xα+2 dxu_{n}=\int_{n}^{+\infty} \frac{x+\sqrt{x} \cos(x)}{1+x^{\alpha+2}}   dx.
  5. un=∫0+∞11+tn dt−1u_{n}=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{n}}   dt - 1.

1.

Pour la question 1, encadrer le dénominateur de l'intégrande entre 11 et 1+1/n1+1/\sqrt{n}.

2.

Pour la question 2, estimer l'intégrale par un équivalent en +∞+\infty (elle se comporte comme ln⁡n\ln n).

3.

Pour la question 5, couper l'intégrale en ∫01\int_0^1 et ∫1+∞\int_1^{+\infty}.

Idées clés

•

Théorème de la moyenne pour les intégrales.

•

Équivalents de fonctions définies par des intégrales à borne variable.

Résolution.

  1. Pour x∈[0,1/n]x \in [0, 1/n], on a 1≤1+x≤1+1/n1 \leq 1+\sqrt{x} \leq 1+1/\sqrt{n}. Donc :
    11+1/n∫01/nxα−1dx≤un≤∫01/nxα−1dx\frac{1}{1+1/\sqrt{n}} \int_0^{1/n} x^{\alpha-1} dx \leq u_n \leq \int_0^{1/n} x^{\alpha-1} dx
    Comme ∫01/nxα−1dx=1αnα\int_0^{1/n} x^{\alpha-1} dx = \frac{1}{\alpha n^\alpha}, on en déduit un∼1αnαu_n \sim \frac{1}{\alpha n^\alpha}.
    Convergence ssi α>1\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 1}

  2. L'intégrande f(t)=atan⁡t1+tf(t) = \frac{\operatorname{atan} t}{1+t} vérifie f(t)∼π/2tf(t) \sim \frac{\pi/2}{t} au voisinage de +∞+\infty. Par intégration des équivalents pour des fonctions non intégrables, In=∫0nf(t)dt∼π2ln⁡nI_n = \int_0^n f(t) dt \sim \frac{\pi}{2} \ln n. D'où un∼πln⁡n2nαu_n \sim \frac{\pi \ln n}{2 n^\alpha}. D'après les séries de Bertrand :
    Convergence ssi α>1\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 1}

  3. L'intégrale est un=∫n2ndtt3/2(1+t−3/2)u_n = \int_n^{2n} \frac{dt}{t^{3/2}(1 + t^{-3/2})}. Comme t≥nt \geq n, t3/2≥n3/2t^{3/2} \geq n^{3/2}. un∼∫n2nt−3/2dt=[−2t−1/2]n2n=2(n−1/2−(2n)−1/2)=2−2nu_n \sim \int_n^{2n} t^{-3/2} dt = \left[ -2t^{-1/2} \right]_n^{2n} = 2(n^{-1/2} - (2n)^{-1/2}) = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{n}}. La série est de même nature que ∑n−1/2\sum n^{-1/2}.
    La seˊrie diverge\boxed{\text{La série diverge}}

  4. L'intégrande est f(x)∼xxα+2=1xα+1f(x) \sim \frac{x}{x^{\alpha+2}} = \frac{1}{x^{\alpha+1}}. Alors un∼∫n+∞x−(α+1)dx=1αnαu_n \sim \int_n^{+\infty} x^{-(\alpha+1)} dx = \frac{1}{\alpha n^\alpha} (si α>0\alpha > 0). Si α≤0\alpha \leq 0, l'intégrale ne converge pas. Si α>0\alpha > 0, la série converge si α>1\alpha > 1.
    Convergence ssi α>1\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 1}

  5. Soit un=∫0+∞11+tndt−1=∫01(11+tn−1)dt+∫1+∞dt1+tn=−∫01tn1+tndt+∫1+∞dt1+tnu_n = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^n} dt - 1 = \int_0^1 \left(\frac{1}{1+t^n} - 1\right) dt + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{1+t^n} = -\int_0^1 \frac{t^n}{1+t^n} dt + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{1+t^n}. Par convergence dominée (ou changement de variable u=tnu = t^n), on montre que ∫01tn1+tndt∼ln⁡2n\int_0^1 \frac{t^n}{1+t^n} dt \sim \frac{\ln 2}{n} (ou similaire). Plus précisément, pour t∈[1,+∞[t \in [1, +\infty[, posant x=tnx = t^n, dt=1nx1/n−1dxdt = \frac{1}{n} x^{1/n-1} dx. Jn=∫1+∞dt1+tn=1n∫1+∞x1/n−11+xdx∼1n∫1+∞1x(1+x)dx=ln⁡2nJ_n = \int_1^{+\infty} \frac{dt}{1+t^n} = \frac{1}{n} \int_1^{+\infty} \frac{x^{1/n-1}}{1+x} dx \sim \frac{1}{n} \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} dx = \frac{\ln 2}{n}. Les deux morceaux sont en 1/n1/n.
    La seˊrie diverge\boxed{\text{La série diverge}}

Confondre convergence de l'intégrale et convergence de la série.

L'équivalent d'une intégrale donne souvent la nature de la série.