Séries alternées et sommes oscillantes

Étudier la nature des séries de terme général suivant :

$u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ .
$u_{n}=\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+a n+b}\right)$ où $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ .
$u_{n}=\frac{(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}{n}$ .
$u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha+(-1)^{n}}}$ où $\alpha \in \mathbb{R}$ .
$u_{n}=\frac{\sin (\pi \sqrt{n})}{n^{\alpha}}$ où $\alpha \geq 1/2$ .
$u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \cos \left(\frac{2 n \pi}{3}\right)$ .
$u_{n}=\frac{i^{n}}{n}$ .

1.

Pour la question 2, effectuer un DL de la racine carrée.

2.

Pour la question 3, remarquer que la suite $(-1)^{n(n-1)/2}$ est périodique de période 4.

3.

Pour la question 4, regrouper les termes par deux ( $u_{2n} + u_{2n+1}$ ) ou utiliser un DL de l'exponentielle.

4.

Pour la question 5, comparer à l'intégrale correspondante par une intégration par parties.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA).

•

Transformation d'Abel pour les sommes de la forme $\sum a_n e^{in\theta}$ .

•

Étude du reste par développement asymptotique.

Résolution.

$u_n = \frac{(-1)^n}{n e^{\frac{1}{n} \ln n}}$ . Comme $n \sqrt[n]{n} \to +\infty$ et est monotone pour $n$ assez grand, le CSSA s'applique. $\boxed{\text{La série converge}}$
$\pi \sqrt{n^2+an+b} = n\pi \sqrt{1 + \frac{a}{n} + \frac{b}{n^2}} = n\pi + \frac{a\pi}{2} + \frac{(4b-a^2)\pi}{8n} + O(1/n^2)$ . $u_n = \sin(n\pi + a\pi/2 + \theta_n) = (-1)^n \sin(a\pi/2 + \theta_n)$ . Pour que $u_n \to 0$ , il faut que $a/2$ soit un entier, soit $a \in 2\mathbb{Z}$ . Si $a = 2k$ , $u_n = (-1)^{n+k} \sin(\frac{C}{n} + O(1/n^2)) = \frac{(-1)^{n+k}C}{n} + O(1/n^2)$ . $\boxed{\text{Convergence ssi } a \in 2\mathbb{Z}}$
La suite $c_n = (-1)^{n(n-1)/2}$ prend les valeurs $1, 1, -1, -1$ périodiquement. La somme partielle de cette suite est bornée. Comme $1/n$ décroit vers 0, la règle d'Abel s'applique. $\boxed{\text{La série converge}}$
$u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha n^{(-1)^n}}$ . Calculons $v_n = u_{2n} + u_{2n+1}$ : $u_{2n} = \frac{1}{(2n)^{\alpha+1}}$ et $u_{2n+1} = -\frac{1}{(2n+1)^{\alpha-1}}$ . Si $\alpha-1 \leq 0$ , $u_{2n+1}$ ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement. Si $\alpha-1 > 0$ , alors $u_{2n+1}$ domine $u_{2n}$ . $v_n \sim -\frac{1}{(2n+1)^{\alpha-1}}$ . La série converge si $\alpha-1 > 1$ , soit $\alpha > 2$ . $\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 2}$
Posons $f(x) = \frac{\sin(\pi \sqrt{x})}{x^\alpha}$ . La fonction $f$ n'est pas de signe constant. On peut utiliser une IPP sur l'intégrale $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ . Le changement de variable $t = \sqrt{x}$ donne $2 \int_1^{+\infty} \frac{\sin(\pi t)}{t^{2\alpha-1}} dt$ . Cette intégrale converge si $2\alpha-1 > 0 \iff \alpha > 1/2$ . La comparaison série-intégrale montre que la série suit le même comportement. Si $\alpha = 1/2$ , la série diverge. $\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 1/2}$
$u_n = \text{Re}\left( \frac{(e^{i2\pi/3})^n}{n^{1/3}} \right)$ . La suite $e^{i2\pi n/3}$ a des sommes partielles bornées (car $2\pi/3 \not\equiv 0 \pmod{2\pi}$ ). Par la transformation d'Abel, la série converge. $\boxed{\text{La série converge}}$
C'est le même argument qu'en (6) car $|e^{i}| = 1$ et $e^i \neq 1$ . $\boxed{\text{La série converge}}$

Vérifier la décroissance du terme général pour le CSSA.

Transformation d'Abel pour les termes en sin/cos.