Applications analytiques et arithmétiques

Résolution.

1. Par hypothèse, $(\ln |f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)} \to \lambda < 0$. Pour $\epsilon > 0$ assez petit, il existe $A$ tel que pour $x \geq A$ :
   $$\lambda - \epsilon \leq \frac{d}{dx} \ln |f(x)| \leq \lambda + \epsilon$$
   En intégrant entre $A$ et $x$ :
   $$(\lambda - \epsilon)(x-A) \leq \ln \left| \frac{f(x)}{f(A)} \right| \leq (\lambda + \epsilon)(x-A)$$
   En passant à l'exponentielle : $|f(x)| \leq |f(A)| e^{(\lambda+\epsilon)(x-A)}$. Comme $\lambda + \epsilon < 0$, $|f(n)|$ est majoré par le terme d'une série géométrique convergente.
   $$\boxed{\text{La série converge absolument}}$$

2. Considérons $P_N = \prod_{k=1}^N (1 - p_k^{-1})^{-1} = \prod_{k=1}^N (\sum_{m=0}^{\infty} p_k^{-m})$. En développant ce produit, on obtient la somme des inverses de tous les entiers dont les facteurs premiers sont parmi $\{p_1, \dots, p_N\}$. Ainsi $P_N \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \to +\infty$. D'autre part, $\ln P_N = -\sum_{k=1}^N \ln(1 - 1/p_k)$. Comme $-\ln(1-x) \sim x$ quand $x \to 0$, on a $\ln P_N \sim \sum_{k=1}^N \frac{1}{p_k}$. Comme $\ln P_N \to +\infty$, la série des inverses des nombres premiers diverge.
   $$\boxed{\text{La série } \sum \frac{1}{p_n} \text{ diverge}}$$

3. $v_n = \int_0^1 \cos(nt^2) dt$. Posons $x = t^2$, $dt = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$. $v_n = \int_0^1 \frac{\cos(nx)}{2\sqrt{x}} dx$. Par intégration par parties :
   $$v_n = \left[ \frac{\sin(nx)}{2n\sqrt{x}} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{\sin(nx)}{4n x^{3/2}} dx$$
   Le terme entre crochets pose problème en 0. On utilise le fait que $\frac{1}{\sqrt{x}}$ est intégrable sur $[0,1]$. D'après le lemme de Riemann-Lebesgue, $v_n \to 0$. Un calcul plus précis (en séparant $\int_0^{1/n}$ et $\int_{1/n}^1$) montre que $v_n \sim \frac{C}{\sqrt{n}}$. Alors $u_n = (-1)^n v_n$ est le terme général d'une série alternée dont le terme général décroit vers 0.
   $$\boxed{\text{La série converge}}$$