Intégration d'une série entière sur son domaine

Résolution.

1. Soit $n \in \mathbb{N}$ et $f_n : x \mapsto a_n x^n$. Pour tout $x \in [-1, 1]$, nous avons l'inégalité suivante :
   $$|f_n(x)| = |a_n| \cdot |x|^n \leq |a_n|$$
   Par hypothèse, la série numérique $\sum |a_n|$ converge. Ainsi, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur l'intervalle $[-1, 1]$. Comme la convergence normale implique la convergence simple, la fonction $F$ est bien définie pour tout $x \in [-1, 1]$.
   $$\boxed{ \forall x \in [-1, 1],   F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \text{ existe.} }$$

2. Chaque fonction $f_n : x \mapsto a_n x^n$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur le segment $[-1, 1]$. D'après la question précédente, nous avons établi que la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $[-1, 1]$. La convergence normale sur un intervalle implique la convergence uniforme sur ce même intervalle. Or, le théorème de continuité pour les séries de fonctions stipule que la somme d'une série de fonctions continues convergeant uniformément sur un intervalle est elle-même continue.
   $$\boxed{ F \text{ est continue sur } [-1, 1]. }$$

3. Nous souhaitons calculer l'intégrale :
   $$I = \int_{0}^{1} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \right) \text{d}t$$
   Comme la série de fonctions $\sum f_n$ converge uniformément sur le segment $[0, 1]$ (car elle y converge normalement comme démontré en question 1), nous pouvons appliquer le théorème d'intégration terme à terme sur un segment. Ce théorème nous permet d'intervertir les symboles somme et intégrale :
   $$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n   \text{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} a_n t^n   \text{d}t$$
   Calculons l'intégrale élémentaire pour chaque $n \in \mathbb{N}$ :
   $$\int_{0}^{1} a_n t^n   \text{d}t = a_n \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{a_n}{n+1}$$
   En conclusion, nous obtenons l'expression suivante :
   $$\boxed{ \int_{0}^{1} F(t)   \text{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} }$$