Théorème de Korovkin et opérateurs positifs

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ de $\mathbb{R}$ .

Justifier que pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe une constante $\alpha > 0$ telle que : $\forall (x, y) \in [a, b]^2, |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon + \alpha(x-y)^2$
On considère une suite d'endomorphismes $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ . On suppose que ces endomorphismes sont positifs, c'est-à-dire que pour toute fonction $g \geq 0$ , on a $T_n(g) \geq 0$ . On note $e_i$ les fonctions de base $e_i : x \mapsto x^i$ pour $i \in \{0, 1, 2\}$ . On suppose que pour chaque $i \in \{0, 1, 2\}$ , la suite $(T_n(e_i))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $e_i$ sur $[a, b]$ . Démontrer que la suite $(T_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le théorème de Heine pour la continuité uniforme et le fait que toute fonction continue sur un segment est bornée. Distinguer les cas $|x-y| \leq \delta$ et $|x-y| > \delta$ .

2.

Pour la question 2, utiliser la linéarité et la croissance des opérateurs $T_n$ (conséquence de la positivité). Appliquer $T_n$ à l'inégalité de la question 1 par rapport à la variable $y$ , en fixant $x$ .

3.

Étudier la quantité $T_n((x-e_1)^2)(x)$ en développant le carré.

Idées clés

•

Continuité uniforme (Théorème de Heine).

•

Propriété de croissance des opérateurs positifs : si $g \leq h$ , alors $T_n(g) \leq T_n(h)$ .

•

Approximation uniforme par l'étude du comportement sur une base de polynômes de bas degré.

Résolution.

Soit $\varepsilon > 0$ . La fonction $f$ est continue sur le segment $[a, b]$ . D'après le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur $[a, b]$ . Il existe donc $\delta > 0$ tel que : $\forall (x, y) \in [a, b]^2, |x-y| \leq \delta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$ De plus, $f$ est continue sur un segment, donc elle est bornée. Notons $M = \|f\|_\infty$ . Soit $(x, y) \in [a, b]^2$ . Distinguons deux cas : Cas 1 : $|x-y| \leq \delta$ . D'après la continuité uniforme, on a directement $|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$ . Puisque $\alpha(x-y)^2 \geq 0$ , l'inégalité est vérifiée pour tout $\alpha > 0$ . Cas 2 : $|x-y| > \delta$ . On a $|f(x) - f(y)| \leq 2M$ . Comme $|x-y| > \delta$ , on a $\frac{(x-y)^2}{\delta^2} > 1$ , donc : $|f(x) - f(y)| \leq 2M \leq 2M \frac{(x-y)^2}{\delta^2}$ En choisissant $\alpha = \frac{2M}{\delta^2}$ , on obtient dans les deux cas : $\boxed{|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon + \alpha(x-y)^2}$
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x \in [a, b]$ fixé. L'inégalité précédente s'écrit, pour tout $y \in [a, b]$ : $-\varepsilon - \alpha(x-y)^2 \leq f(y) - f(x) \leq \varepsilon + \alpha(x-y)^2$ L'opérateur $T_n$ est linéaire et positif, donc il conserve l'ordre. On applique $T_n$ à cette inégalité de fonctions de la variable $y$ (en notant que $f(x)$ et $\varepsilon$ sont ici des constantes) : $T_n(-\varepsilon e_0 - \alpha(x e_0 - e_1)^2) \leq T_n(f) - f(x)T_n(e_0) \leq T_n(\varepsilon e_0 + \alpha(x e_0 - e_1)^2)$ Par linéarité, on se concentre sur le majorant. On a, pour tout $x \in [a, b]$ : $T_n(f)(x) - f(x)T_n(e_0)(x) \leq \varepsilon T_n(e_0)(x) + \alpha T_n((x e_0 - e_1)^2)(x)$ Développons le terme quadratique par linéarité de $T_n$ : $T_n((x e_0 - e_1)^2)(x) = x^2 T_n(e_0)(x) - 2x T_n(e_1)(x) + T_n(e_2)(x)$ Par hypothèse, $T_n(e_i) \xrightarrow{unif} e_i$ . Donc, pour chaque $x$ , le terme ci-dessus converge vers : $x^2(1) - 2x(x) + x^2 = 0$ Puisque $[a, b]$ est compact et que les $T_n(e_i)$ convergent uniformément, cette convergence vers 0 est uniforme par rapport à $x$ . De même, $T_n(e_0) \xrightarrow{unif} 1$ . Pour $n$ assez grand, on a $|T_n(e_0)(x)| \leq 2$ et $|T_n(f)(x) - f(x)T_n(e_0)(x)| \leq 3\varepsilon$ . Enfin, on utilise l'inégalité triangulaire : $|T_n(f)(x) - f(x)| \leq |T_n(f)(x) - f(x)T_n(e_0)(x)| + |f(x)T_n(e_0)(x) - f(x)|$ $|T_n(f)(x) - f(x)| \leq |T_n(f)(x) - f(x)T_n(e_0)(x)| + |f(x)| \cdot |T_n(e_0)(x) - 1|$ Le premier bloc tend uniformément vers 0 (comme montré précédemment), et le second aussi car $f$ est bornée et $T_n(e_0) \to 1$ uniformément. On en conclut que : $\boxed{T_n(f) \xrightarrow{unif} f \text{ sur } [a, b]}$

Confusion entre la variable d'application de l'opérateur et le paramètre spatial.

La convergence des opérateurs positifs sur {1, x, x^2} implique la convergence sur C([a,b]).