Régularité d'une série de fonctions exponentielles

Résolution.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in [0, +\infty[$, on a :
   $$|u_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{1+n^2} \le \frac{1}{1+n^2}$$
   On note $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in I} |u_n(x)| = \frac{1}{1+n^2}$. Comme la série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann), par comparaison, la série $\sum \|u_n\|_\infty$ converge.
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge normalement sur } [0, +\infty[.}$$

2. 1. Pour $x \ge a > 0$, les fonctions $u_n$ sont deux fois dérivables et :
      $$u_n'(x) = \frac{-n(-1)^n e^{-nx}}{1+n^2}   \text{et}   u_n''(x) = \frac{n^2(-1)^n e^{-nx}}{1+n^2}$$
      Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a $|u_n'(x)| \le \frac{n e^{-na}}{1+n^2}$ et $|u_n''(x)| \le \frac{n^2 e^{-na}}{1+n^2}$. Par croissance comparée, $n^2 e^{-na} \to 0$ quand $n \to +\infty$, donc ces termes sont les termes généraux de séries convergentes (par exemple par la règle $n^2 v_n \to 0$).
      $$\boxed{\sum u_n' \text{ et } \sum u_n'' \text{ convergent normalement sur } [a, +\infty[ \text{ pour tout } a > 0.}$$

   2. Sur $I = [0, +\infty[$, on a $\|u_n'\|_\infty = \sup_{x \ge 0} \frac{n e^{-nx}}{1+n^2} = \frac{n}{1+n^2} \sim \frac{1}{n}$. Comme $\sum \frac{1}{n}$ diverge, $\sum u_n'$ ne converge pas normalement sur $I$. De même, $\|u_n''\|_\infty = \sup_{x \ge 0} \frac{n^2 e^{-nx}}{1+n^2} = \frac{n^2}{1+n^2} \to 1$. La série $\sum \|u_n''\|_\infty$ diverge grossièrement.
      $$\boxed{\text{Il n'y a pas convergence normale de } \sum u_n' \text{ et } \sum u_n'' \text{ sur } [0, +\infty[.}$$

3. 1. On a $u_n'(x) = (-1)^{n+1} \frac{n e^{-nx}}{1+n^2}$. Pour $x \ge 0$ fixé, la suite $(|u_n'(x)|)$ est décroissante à partir d'un certain rang (car $t \mapsto \frac{t e^{-tx}}{1+t^2}$ a une dérivée négative pour $t$ grand) et tend vers 0. D'après le CSSA, la série converge simplement et le reste $R_n'(x)$ vérifie :
      $$|R_n'(x)| \le |u_{n+1}'(x)| = \frac{(n+1)e^{-(n+1)x}}{1+(n+1)^2} \le \frac{n+1}{1+(n+1)^2}$$
      Cette majoration est indépendante de $x$ et tend vers 0.
      $$\boxed{\sum u_n' \text{ converge uniformément sur } [0, +\infty[.}$$

   2. Si $\sum u_n''$ convergeait uniformément sur $I$, son terme général $u_n''(x)$ tendrait vers 0 uniformément sur $I$. Or, on a vu que $\|u_n''\|_\infty = \frac{n^2}{1+n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \neq 0$.
      $$\boxed{\sum u_n'' \text{ ne converge pas uniformément sur } [0, +\infty[.}$$

4. 1. $\sum u_n$ converge simplement, chaque $u_n$ est $\mathcal{C}^1$ et $\sum u_n'$ converge uniformément sur $I$. Donc $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Sur tout intervalle $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, $\sum u_n''$ converge normalement donc uniformément. Par théorème de dérivation, $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur tout $[a, +\infty[$, donc sur $]0, +\infty[$.
      $$\boxed{f \in \mathcal{C}^1(I) \text{ et } f \in \mathcal{C}^2(]0, +\infty[).}$$

   2. Pour $x > 0$, on peut dériver sous la somme deux fois :
      $$f''(x) + f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n n^2 e^{-nx}}{1+n^2} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n e^{-nx}}{1+n^2}$$
      En regroupant les termes :
      $$f''(x) + f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-nx} \frac{n^2+1}{1+n^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-e^{-x})^n$$
      On reconnaît une série géométrique de raison $q = -e^{-x}$. Comme $x > 0$, $|q| < 1$.
      $$\boxed{ \forall x > 0,   f''(x) + f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} }$$

5. Puisque $f$ est continue sur $I$ (par CVN de $\sum u_n$), on a $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$. D'après la relation précédente, pour $x > 0$ : $f''(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} - f(x)$. On en déduit que $f''$ admet une limite finie en $0^+$ :
   $$\lim_{x \to 0^+} f''(x) = \frac{1}{2} - f(0)$$
   Comme $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, +\infty[$ et que sa dérivée seconde existe sur $]0, +\infty[$ et possède une limite finie en $0$, le théorème de prolongement de la dérivée (appliqué à $f'$) assure que $f'$ est dérivable en 0 et que $f''$ est continue en 0.
   $$\boxed{f \text{ est de classe } \mathcal{C}^2 \text{ sur } [0, +\infty[.}$$