Convergence d'une série de fonctions trigonométriques

Résolution.

1. Convergence simple et uniforme de la suite $(f_n)$.

   Soit $x \in [0, \pi]$. Si $x \in \{0, \pi\}$, alors $\sin(x) = 0$, donc $f_n(x) = 0$ pour tout $n$. Si $x \in ]0, \pi[$, alors $|\cos(x)| < 1$, donc $\cos^n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.

   Ainsi, la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $I$.

   $$\boxed{f_n \xrightarrow{S} 0 \text{ sur } [0, \pi]}$$

   Pour la convergence uniforme, cherchons $\|f_n\|_{\infty}$ sur $I$. Par symétrie ou étude des variations, $f_n$ est dérivable et :

   $$f_n'(x) = \cos(x) \cos^n(x) - n \sin(x) \sin(x) \cos^{n-1}(x) = \cos^{n-1}(x) \left( \cos^2(x) - n \sin^2(x) \right)$$
   $$f_n'(x) = \cos^{n-1}(x) \left( 1 - (n+1) \sin^2(x) \right)$$

   Sur $]0, \pi/2[$, la dérivée s'annule en $x_n$ tel que $\sin(x_n) = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. Alors $\cos(x_n) = \sqrt{1 - \frac{1}{n+1}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$. Le maximum de $|f_n|$ est atteint en $x_n$ (et par symétrie en $\pi - x_n$) :

   $$\|f_n\|_{\infty} = |f_n(x_n)| = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \left( \sqrt{\frac{n}{n+1}} \right)^n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n/2}$$

   En utilisant l'équivalent $(1 - 1/n)^n \to e^{-1}$, on obtient :

   $$\|f_n\|_{\infty} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} e^{-1/2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

   La convergence est donc uniforme vers 0 sur $[0, \pi]$.

   $$\boxed{f_n \xrightarrow{U} 0 \text{ sur } [0, \pi]}$$

2. Convergence simple de la série $\sum f_n$.

   Si $x = 0$, $f_n(0) = 0$, la série converge et $S(0) = 0$. Si $x = \pi$, $f_n(\pi) = 0$, la série converge et $S(\pi) = 0$. Si $x \in ]0, \pi[$, on reconnaît une série géométrique de raison $q = \cos(x)$ avec $|q| < 1$.

   $$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \sin(x) \cos^n(x) = \sin(x) \frac{1}{1 - \cos(x)}$$

   En utilisant $\sin(x) = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$ et $1 - \cos(x) = 2 \sin^2(x/2)$, on a :

   $$S(x) = \frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \sin^2(x/2)} = \text{cotan}\left(\frac{x}{2}\right)$$
   $$\boxed{ \forall x \in ]0, \pi[, \ S(x) = \text{cotan}\left(\frac{x}{2}\right) \text{ et } S(0)=S(\pi)=0 }$$

3. Convergence normale.

   D'après l'étude de la question 1, nous avons :

   $$\|f_n\|_{\infty} \sim \frac{1}{\sqrt{en}}$$

   C'est le terme général d'une série de Riemann divergente ($\alpha = 1/2 \le 1$).

   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ ne converge pas normalement sur } [0, \pi]}$$

4. Convergence uniforme.

   Supposons que la série converge uniformément sur $[0, \pi]$. Comme chaque $f_n$ est continue sur $[0, \pi]$, la somme $S$ devrait être continue sur $[0, \pi]$. Or, nous avons vu que :

   $$\lim_{x \to 0^+} S(x) = \lim_{x \to 0^+} \text{cotan}\left(\frac{x}{2}\right) = +\infty$$

   La fonction somme n'est même pas bornée au voisinage de 0, elle n'est donc pas continue en 0. Ceci contredit l'hypothèse de convergence uniforme.

   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ ne converge pas uniformément sur } [0, \pi]}$$

   Note : On peut cependant montrer la convergence uniforme (et même normale) sur tout segment $[a, \pi]$ avec $a > 0$.