Règle de Raabe-Duhamel et applications

Résolution.

1. Considérons la suite de Riemann $w_{n, \gamma} = \frac{1}{n^\gamma}$ pour $\gamma > 0$. Un développement limité donne :
   $$\frac{w_{n+1, \gamma}}{w_{n, \gamma}} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-\gamma} = 1 - \frac{\gamma}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   Ainsi, la suite $(w_{n, \gamma})$ vérifie la propriété $(P_\gamma)$. En choisissant $\alpha = 1$, la série $\sum \frac{1}{n}$ diverge. En choisissant $\beta = 2$, la série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge.
   $$\boxed{\alpha = 1 \text{ et } \beta = 2 \text{ conviennent.}}$$

2. Supposons $\lambda < 0$. Le développement limité donne :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 = -\frac{\lambda}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{-\lambda}{n}$$
   Comme $-\lambda > 0$, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 > 0$, soit $u_{n+1} > u_n$. La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante à partir d'un certain rang. Puisqu'elle est à termes strictement positifs, elle ne peut pas converger vers $0$.
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ diverge grossièrement.}}$$

3. Supposons $\lambda > 1$. Choisissons un réel $\mu$ tel que $1 < \mu < \lambda$. Soit $v_n = \frac{1}{n^\mu}$. D'après la question 1, $\frac{v_{n+1}}{v_n} = 1 - \frac{\mu}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$. Calculons la différence des rapports :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} = \left( 1 - \frac{\lambda}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) - \left( 1 - \frac{\mu}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = \frac{\mu - \lambda}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   Comme $\mu - \lambda < 0$, on a $\frac{u_{n+1}}{u_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} \sim \frac{\mu - \lambda}{n} < 0$. Ainsi, à partir d'un certain rang $N$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \frac{v_{n+1}}{v_n}$. Par comparaison logarithmique, il existe une constante $C > 0$ telle que $u_n \leqslant C v_n$. Comme $\sum v_n$ est une série de Riemann convergente ($\mu > 1$), par théorème de comparaison :
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge.}}$$

4. Supposons $0 \leqslant \lambda < 1$. Posons cette fois $v_n = \frac{1}{n}$. On a $\frac{v_{n+1}}{v_n} = 1 - \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$. La différence des rapports devient :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{1 - \lambda}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   Puisque $1 - \lambda > 0$, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est supérieur à $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ à partir d'un certain rang. Il existe alors $C' > 0$ tel que $u_n \geqslant C' v_n$. Comme la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge :
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ diverge.}}$$

5. Étudions le rapport de deux termes consécutifs pour la suite $(a_n)$ :
   $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\sqrt{n!}}{\sqrt{(n-1)!}} \frac{\prod_{k=1}^{n} \sin(k^{-1/2})}{\prod_{k=1}^{n-1} \sin(k^{-1/2})} = \sqrt{n} \sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$
   Utilisons le développement limité de la fonction sinus au voisinage de $0$ :
   $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$
   En pos $x = \frac{1}{\sqrt{n}}$, nous obtenons :
   $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \sqrt{n} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{6n\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right) \right)$$
   $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \frac{1}{6n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   La suite $(a_n)$ vérifie donc la propriété $(P_\lambda)$ avec $\lambda = \frac{1}{6}$. Comme $0 \leqslant \frac{1}{6} < 1$, on applique le résultat de la question 4.
   $$\boxed{\text{La série } \sum a_n \text{ diverge.}}$$