Convergence d'une série de sommes finies

Soit $\alpha$ un paramètre réel. On considère la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par :

U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha + (n-k)^\alpha}

Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$ , la nature de la série $\sum U_n$ .

1.

Commencer par traiter le cas $\alpha \le 0$ en étudiant la limite de $U_n$ .

2.

Pour $\alpha > 0$ , encadrer le dénominateur $k^\alpha + (n-k)^\alpha$ par des puissances de $n$ afin d'obtenir un équivalent ou un ordre de grandeur de $U_n$ .

3.

Utiliser les critères de comparaison pour les séries à termes positifs (séries de Riemann).

Idées clés

•

Encadrement du terme général d'une somme par son nombre de termes.

•

Utilisation de la convexité/concavité pour borner une fonction symétrique.

•

Comparaison aux séries de Riemann.

Résolution.

Étape 1 : Cas où $\alpha \le 0$ .

Supposons d'abord $\alpha = 0$ . On a immédiatement :

U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+1} = \frac{n}{2}

La suite $(U_n)$ diverge vers $+\infty$ , donc la série $\sum U_n$ diverge grossièrement.

Supposons maintenant $\alpha < 0$ et posons $\beta = -\alpha > 0$ . Le terme général s'écrit :

U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\frac{1}{k^\beta} + \frac{1}{(n-k)^\beta}} = \sum_{k=1}^n \frac{k^\beta (n-k)^\beta}{k^\beta + (n-k)^\beta}

Pour $k=1$ , le terme de la somme est $\frac{(n-1)^\beta}{1 + (n-1)^\beta}$ , qui tend vers $1$ quand $n \to +\infty$ . Comme tous les termes de la somme définissant $U_n$ sont positifs, on en déduit :

U_n \ge \frac{(n-1)^\beta}{1 + (n-1)^\beta} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1

Ainsi, $U_n$ ne converge pas vers $0$ , et la série $\sum U_n$ diverge encore grossièrement.

Étape 2 : Cas où $\alpha > 0$ .

Soit $n \ge 2$ . Considérons la fonction $f : x \mapsto x^\alpha + (n-x)^\alpha$ sur l'intervalle $[1, n-1]$ . Sa dérivée est donnée par :

f'(x) = \alpha \left( x^{\alpha-1} - (n-x)^{\alpha-1} \right)

Si $\alpha \ge 1$ , $f$ est convexe. Elle atteint son maximum aux bornes (en $1$ et $n-1$ ) et son minimum en $n/2$ . Si $0 < \alpha < 1$ , $f$ est concave. Elle atteint son minimum aux bornes et son maximum en $n/2$ .

Dans les deux cas, il existe des constantes $C_1, C_2 > 0$ indépendantes de $k$ (mais dépendant de $\alpha$ ) telles que pour tout $k \in \{1, \dots, n-1\}$ :

C_1 n^\alpha \le k^\alpha + (n-k)^\alpha \le C_2 n^\alpha

En effet, le terme prépondérant dans l'expression est toujours de l'ordre de $n^\alpha$ . Le terme manquant $k=n$ dans la somme de $U_n$ est $1/n^\alpha$ , ce qui ne change pas l'ordre de grandeur. Ainsi, pour $n$ assez grand, il existe deux constantes $A, B > 0$ telles que :

\frac{A \cdot n}{n^\alpha} \le U_n \le \frac{B \cdot n}{n^\alpha}

On obtient donc l'ordre de grandeur suivant :

\boxed{ U_n = \Theta\left( \frac{1}{n^{\alpha-1}} \right) }

Étape 3 : Conclusion sur la convergence.

D'après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs, la série $\sum U_n$ converge si et seulement si la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{\alpha-1}}$ converge.

Ceci est réalisé si et seulement si $\alpha - 1 > 1$ , soit $\alpha > 2$ .

\boxed{ \text{La série } \sum U_n \text{ converge si et seulement si } \alpha > 2 }

Oublier le cas alpha <= 0 ou ne pas justifier proprement l'ordre de grandeur.

Encadrement d'une somme par le nombre de termes fois les bornes du terme général.