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Itération des opérateurs de Bernstein

Bernsteinitérationpolynômevaleurs propresMatrice triangulaireConvergence de puissancesLoi binomiale

Soit E=C([0,1],R)E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,1][0,1]. Pour tout entier naturel n≥1n \geq 1, on définit l'opérateur de Bernstein Bn∈L(E)B_n \in \mathcal{L}(E) par :

∀f∈E,∀x∈[0,1],Bn(f)(x)=∑k=0nf(kn)(nk)xk(1−x)n−k\forall f \in E,   \forall x \in [0,1],   B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}
On fixe n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et f∈Ef \in E. Étudier la convergence simple sur [0,1][0,1] de la suite de fonctions (fm)m∈N(f_m)_{m \in \mathbb{N}} définie par :
f0=fet∀m∈N, fm+1=Bn(fm)f_0 = f   \text{et}   \forall m \in \mathbb{N}, \ f_{m+1} = B_n(f_m)

1.

Remarquer que pour tout f∈Ef \in E, Bn(f)B_n(f) est un polynôme de degré au plus nn. L'étude peut donc se restreindre à l'espace vectoriel de dimension finie Rn[X]\mathbb{R}_n[X].

2.

Déterminer la matrice de la restriction de BnB_n à Rn[X]\mathbb{R}_n[X] dans la base canonique (1,X,…,Xn)(1, X, \dots, X^n).

3.

Analyser les valeurs propres de cet endomorphisme pour en déduire le comportement de ses puissances.

4.

Utiliser les valeurs de Bn(f)B_n(f) aux points 00 et 11 pour identifier la limite.

Idées clés

•

Stabilité de l'espace de dimension finie Rn[X]\mathbb{R}_n[X].

•

Spectres d'endomorphismes triangulaires.

•

Convergence des puissances d'une matrice vers un projecteur.

1. Réduction à la dimension finie.

On observe que pour toute fonction f∈Ef \in E, Bn(f)B_n(f) est une combinaison linéaire des polynômes Pk(x)=(nk)xk(1−x)n−kP_k(x) = \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}, qui sont de degré nn.

Ainsi, l'image de BnB_n est incluse dans V=Rn[X]V = \mathbb{R}_n[X]. Pour tout m≥1m \geq 1, fm=Bnm(f)∈Vf_m = B_n^m(f) \in V. L'étude de la convergence se ramène donc à l'étude de l'endomorphisme induit par BnB_n sur VV, que nous noterons encore BnB_n.

2. Recherche des valeurs propres.

Calculons l'image par BnB_n des monômes XpX^p pour 0≤p≤n0 \leq p \leq n. Par définition :

Bn(Xp)(x)=∑k=0n(kn)p(nk)xk(1−x)n−kB_n(X^p)(x) = \sum_{k=0}^n \left(\frac{k}{n}\right)^p \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}
On reconnaît l'espérance E[(X/n)p]E[(X/n)^p] où XX suit une loi binomiale B(n,x)\mathcal{B}(n, x). Le terme de plus haut degré de Bn(Xp)B_n(X^p) provient du terme en xpx^p dans l'expression développée.

On montre (par exemple par les moments de la loi binomiale ou par calcul direct) que Bn(Xp)B_n(X^p) est un polynôme de degré pp dont le coefficient dominant est :

λp=n(n−1)…(n−p+1)np=n!np(n−p)!\lambda_p = \frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{n^p} = \frac{n!}{n^p(n-p)!}

La matrice de BnB_n dans la base canonique (1,X,…,Xn)(1, X, \dots, X^n) est donc triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont les coefficients diagonaux (λp)0≤p≤n(\lambda_p)_{0 \leq p \leq n} :

λ0=1,λ1=1,et∀p∈{2,…,n}, 0<λp<1\boxed{ \lambda_0 = 1,   \lambda_1 = 1,   \text{et}   \forall p \in \{2, \dots, n\}, \ 0 < \lambda_p < 1 }

3. Convergence de la suite des puissances.

Soit MM la matrice de BnB_n dans une base de vecteurs propres (ou sa forme réduite). Puisque les valeurs propres sont dans [0,1][0, 1], la suite (Mm)(M^m) converge vers une matrice M∞M_\infty.

Plus précisément, VV se décompose en V=ker⁡(Bn−id)2⊕⨁λ<1ker⁡(Bn−λ⋅id)V = \ker(B_n - id)^2 \oplus \bigoplus_{\lambda < 1} \ker(B_n - \lambda \cdot id). Ici, on vérifie que Bn(1)=1B_n(1) = 1 et Bn(X)=XB_n(X) = X. Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 contient donc Vect(1,X)\text{Vect}(1, X). Comme sa multiplicité est 2 (car λ0=λ1=1\lambda_0 = \lambda_1 = 1 et λp<1\lambda_p < 1 pour p≥2p \geq 2), l'espace propre est exactement Vect(1,X)\text{Vect}(1, X).

L'endomorphisme BnB_n restreint à VV est diagonalisable (ou on utilise la convergence vers le projecteur sur le sous-espace propre associé à 1). Dans tous les cas, pour tout P∈VP \in V :

Bnm(P)→m→∞Q∈Vect(1,X)B_n^m(P) \xrightarrow[m \to \infty]{} Q \in \text{Vect}(1, X)
La limite fm→Qf_m \to Q est donc un polynôme de la forme Q(x)=ax+bQ(x) = ax + b.

4. Identification de la limite.

Remarquons que pour tout g∈Eg \in E :

Bn(g)(0)=g(0)(n0)00(1)n=g(0)etBn(g)(1)=g(1)(nn)1n(0)0=g(1)B_n(g)(0) = g(0) \binom{n}{0} 0^0 (1)^n = g(0)   \text{et}   B_n(g)(1) = g(1) \binom{n}{n} 1^n (0)^0 = g(1)
Par récurrence, pour tout m∈Nm \in \mathbb{N}, fm(0)=f(0)f_m(0) = f(0) et fm(1)=f(1)f_m(1) = f(1). À la limite, le polynôme QQ doit vérifier :
Q(0)=f(0)  ⟹  b=f(0)Q(0) = f(0) \implies b = f(0)
Q(1)=f(1)  ⟹  a+b=f(1)  ⟹  a=f(1)−f(0)Q(1) = f(1) \implies a + b = f(1) \implies a = f(1) - f(0)

Conclusion.

La suite de fonctions (Bnm(f))(B_n^m(f)) converge simplement (et même uniformément car on est en dimension finie sur VV) vers la fonction affine interpolant ff en 00 et 11 :

∀x∈[0,1],lim⁡m→∞Bnm(f)(x)=f(0)+(f(1)−f(0))x\boxed{ \forall x \in [0,1],   \lim_{m \to \infty} B_n^m(f)(x) = f(0) + (f(1) - f(0))x }

Confusion entre la limite des itérés (m tend vers l'infini) et la limite de l'approximation de Bernstein (n tend vers l'infini).

Étude de la convergence de u^n en dimension finie via le spectre.